分裂域

在抽象代数中，一个系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$的多项式${\displaystyle P(x)\,}$的分裂域（根域）是${\displaystyle \mathbb {K} }$的“最小”的一个扩域${\displaystyle \mathbb {L} }$，使得在其中${\displaystyle P\,}$可以被分解为一次因式${\displaystyle x-r_{i}\,}$的乘积，其中的${\displaystyle r_{i}\,}$是${\displaystyle \mathbb {L} }$中元素。一个${\displaystyle \mathbb {K} }$上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上，${\displaystyle \mathbb {K} }$上的多项式的分裂域是唯一的。

术语与定义

称一个系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的多项式 ${\displaystyle P(x)\,}$ 在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的某个扩域${\displaystyle \mathbb {L} }$ 中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$ 

其中的${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$ ，${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {L} }$ 。换句话来说，${\displaystyle P\,}$ 的根都在${\displaystyle \mathbb {L} }$ 中。

使得${\displaystyle P\,}$ 在其中分裂的扩域${\displaystyle \mathbb {L} }$ 有很多，譬如对于某个使得${\displaystyle P\,}$ 分裂的的${\displaystyle \mathbb {L} }$ ，它任意的扩域${\displaystyle \mathbb {L} '}$ 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域${\displaystyle \mathbb {E} }$ ：

1. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$ 里，${\displaystyle P\,}$ ，可以分解为一次因式的乘积；
2. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$ 的任何真子域（不等于自身）里，${\displaystyle P\,}$ 都无法如此分解。这样的扩域称为${\displaystyle P\,}$ 在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的分裂域。

例子

如果${\displaystyle \mathbb {K} }$ 是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，多项式为

${\displaystyle P(x)=x^{3}-2\,}$ 

那么其分裂域${\displaystyle \mathbb {L} }$ 可以是在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中添加三次单位根${\displaystyle \omega \,}$ 和2的立方根而得到的扩域：${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})}$ 。因为这时${\displaystyle P\,}$ 可以写作：

${\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}$ 

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多项式${\displaystyle x^{2}+1\,}$ 在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
• 多项式${\displaystyle x^{2}+1\,}$ 在准有限域 GF₇上的分裂域是GF_7².

多项式${\displaystyle x^{2}-1\,}$ 在准有限域 GF₇上的分裂域是GF₇，因为在其上${\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,}$ 已经分解完毕。

性质

给定多项式${\displaystyle P(x)\,}$ ，在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的分裂域${\displaystyle \mathbb {E} }$ ，假设在${\displaystyle \mathbb {E} }$ 里${\displaystyle P\,}$ ，分解为

${\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$ 

那么${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})}$ 。

对于域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的一个代数闭域扩域${\displaystyle \mathbb {A} }$ 和${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的一个多项式${\displaystyle P\,}$ ，存在${\displaystyle P\,}$ 在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的唯一的一个分裂域${\displaystyle \mathbb {L} }$ ，使得${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A} }$ 。

对于${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的一个可分扩张${\displaystyle \mathbb {K} '}$ ，${\displaystyle \mathbb {K} '}$ 的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是${\displaystyle \mathbb {K} }$ 的包含${\displaystyle \mathbb {K} '}$ 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了${\displaystyle \mathbb {K} '}$ 中任意元素${\displaystyle a\,}$ ，在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的极小多项式在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 上的分裂域。

参见

• 代数扩张
• 正规扩张
• 极小多项式
• 可分扩张

参考来源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部链接

• 李華介，簡介Galois理論 （页面存档备份，存于互联网档案馆）