極小多項式

此條目介紹的是抽象代數中的概念。关于線性代數中旳類似概念，请见「極小多項式 (線性代數)」。

在抽象代數中，一個域上的代數元 ${\displaystyle \alpha }$ 之極小多項式（或最小多項式）是滿足 ${\displaystyle P(\alpha )=0}$ 的最低次首一多項式(多項式內最高次項之係數為1) ${\displaystyle P}$。此概念對線性代數與代數擴張的研究極有助益。

形式定義

設 ${\displaystyle k}$  為一个域，${\displaystyle A}$  為有限維 ${\displaystyle k}$ -代數。對任一元素 ${\displaystyle \alpha \in A}$ ，集合 ${\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha ^{2},\ldots \}}$  張出有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}\alpha ^{i}=0\quad (c_{i}\in k)}$ 

可以假設 ${\displaystyle c_{n}=1}$ ，此時多項式 ${\displaystyle f(X):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}}$  滿足 ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ 。根據多項式環裡的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為 ${\displaystyle \alpha }$  的極小多項式。

由此可導出極小多項式的次數等於 ${\displaystyle \dim _{k}k[\alpha ]}$ ，而且 ${\displaystyle \alpha }$  可逆若且唯若其極小多項式之常數項非零，此時 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$  可以表成 ${\displaystyle \alpha }$  的多項式。

矩陣的極小多項式

考慮所有 ${\displaystyle n\times n}$  矩陣構成的 ${\displaystyle k}$ -代數 ${\displaystyle M_{n}(k)}$ ，由於 ${\displaystyle \dim M_{n}(k)=n^{2}}$ ，此時可定義一個${\displaystyle n\times n}$  矩陣之極小多項式，而且其次數至多為 ${\displaystyle n^{2}}$ ；事實上，根據凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為 ${\displaystyle n}$ ，且其根屬於該矩陣的特徵值集。

極小多項式是矩陣分類理論（若尔当标准型、有理標準形）的關鍵。

極小多項式與代數擴張

設 ${\displaystyle k'}$  為 ${\displaystyle k}$  的有限擴張，此時可視 ${\displaystyle k'}$  為有限維 ${\displaystyle k}$ -代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的跡數及範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。