凱萊, 哈密頓定理, 在線性代數中, 英語, cayley, hamilton, theorem, 以數學家阿瑟, 凱萊與威廉, 卢云, 哈密顿命名, 表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式, 明確地說, 設a, displaystyle, 為給定的n, displaystyle, times, 矩陣, 並設i, displaystyle, 為n, displaystyle, times, 單位矩陣, 則a, displaystyle, 的特徵多項式定義為, displaystyle, lambda. 在線性代數中 凱萊 哈密頓定理 英語 Cayley Hamilton theorem 以數學家阿瑟 凱萊與威廉 卢云 哈密顿命名 表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式 明確地說 設A displaystyle A 為給定的n n displaystyle n times n 矩陣 並設I n displaystyle I n 為n n displaystyle n times n 單位矩陣 則A displaystyle A 的特徵多項式定義為 p l det l I n A displaystyle p lambda det lambda I n A 其中det displaystyle det 表行列式函數 凱萊 哈密頓定理斷言 p A O displaystyle p A O 凱萊 哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除 這在尋找若尔当标准形時特別有用 目录 1 例子 2 定理證明 3 抽象化與推廣 4 外部連結例子 编辑舉例明之 考慮下述方陣 A 1 2 3 4 displaystyle A begin bmatrix 1 amp 2 3 amp 4 end bmatrix nbsp 其特徵多項式為 p l l 1 2 3 l 4 l 1 l 4 2 3 l 2 5 l 2 displaystyle p lambda begin vmatrix lambda 1 amp 2 3 amp lambda 4 end vmatrix lambda 1 lambda 4 2 cdot 3 lambda 2 5 lambda 2 nbsp 此時可以直接驗證凱萊 哈密頓定理 A 2 5 A 2 I 2 O displaystyle A 2 5A 2I 2 O nbsp 此式可以簡化高次冪的運算 關鍵在於下述關係 A 2 5 A 2 I 2 O displaystyle A 2 5A 2I 2 O nbsp A 2 5 A 2 I 2 displaystyle A 2 5A 2I 2 nbsp 例如 為了計算A 4 displaystyle A 4 nbsp 可以反覆利用上述關係式 A 3 5 A 2 I 2 A 5 A 2 2 A 5 5 A 2 I 2 2 A 27 A 10 I 2 displaystyle A 3 5A 2I 2 A 5A 2 2A 5 5A 2I 2 2A 27A 10I 2 nbsp A 4 A 3 A 27 A 10 I 2 A 27 A 2 10 A 27 5 A 2 I 2 10 A displaystyle A 4 A 3 A 27A 10I 2 A 27A 2 10A 27 5A 2I 2 10A nbsp A 4 145 A 54 I 2 displaystyle A 4 145A 54I 2 nbsp 或是 如果要計算A n displaystyle A n nbsp 也可以假設 A n a A b I displaystyle A n aA bI nbsp 然後 依照前面的特徵多項式l 2 5 l 2 displaystyle lambda 2 5 lambda 2 nbsp 之兩解l 1 l 2 displaystyle lambda 1 lambda 2 nbsp 代入後可以得到 l 1 n a l 1 b displaystyle lambda 1 n a lambda 1 b nbsp l 2 n a l 2 b displaystyle lambda 2 n a lambda 2 b nbsp 然後解方程後求出a b displaystyle a b nbsp 便可得A n displaystyle A n nbsp 此外 凱萊 哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具 註 一般而言 若n n displaystyle n times n nbsp 矩陣A displaystyle A nbsp 可逆 即 det A 0 displaystyle det A neq 0 nbsp 則A 1 displaystyle A 1 nbsp 可以寫成A displaystyle A nbsp 的冪次和 特徵多項式有如下形式 p l l n tr A l n 1 1 n det A displaystyle p lambda lambda n operatorname tr A lambda n 1 cdots 1 n det A nbsp 將方程式p A 0 displaystyle p A 0 nbsp 同乘以A 1 displaystyle A 1 nbsp 便得到 A 1 1 n 1 det A A n 1 tr A A n 2 displaystyle A 1 frac 1 n 1 det A A n 1 operatorname tr A A n 2 cdots nbsp 定理證明 编辑以下考慮佈於域k R C displaystyle k mathbb R mathbb C nbsp 上的矩陣 凱萊 哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論 拉普拉斯展開可推出若S displaystyle S nbsp 是n n displaystyle n times n nbsp 矩陣 而adj S displaystyle operatorname adj S nbsp 表其伴隨矩陣 則 S adj S det S I n displaystyle S operatorname adj S det S I n nbsp 取S t I n A displaystyle S tI n A nbsp 便得到 t I n A adj t I n A p A t I n displaystyle tI n A operatorname adj tI n A p A t I n nbsp 此式對所有t displaystyle t nbsp 皆成立 由於實數或複數域有無窮多元素 上式等式在多項式環k t displaystyle k t nbsp 內成立 設M k n displaystyle M k n nbsp 矩陣A displaystyle A nbsp 賦予M displaystyle M nbsp 一個k t displaystyle k t nbsp 模結構 f t m f A m displaystyle f t cdot m f A m nbsp 考慮k t displaystyle k t nbsp 模M t M k k t displaystyle M t M otimes k k t nbsp 我們有k t displaystyle k t nbsp 模之間的 求值態射 e A M t M M t i A i m displaystyle e A M t to M qquad M otimes t i mapsto A i m nbsp 固定m M displaystyle m in M nbsp 對M t displaystyle M t nbsp 中的等式 t I n A adj t I n A m p A t m displaystyle tI n A operatorname adj tI n A m p A t m nbsp 右側取e A displaystyle e A nbsp 後得到p A A m displaystyle p A A m nbsp 左側取e A displaystyle e A nbsp 後得到 A A 0 displaystyle A A cdot cdots 0 nbsp 明所欲證 另外一个简单的证明 令 B adj t I n A displaystyle B mbox adj tI n A nbsp 由 S adj S det S I n displaystyle S operatorname adj S det S I n nbsp 得 t I n A B det t I n A I n p t I n displaystyle tI n A B det tI n A I n p t I n nbsp p t I n t I n A B t I n A i 0 n 1 t i B i i 0 n 1 t I n t i B i i 0 n 1 A t i B i i 0 n 1 t i 1 B i i 0 n 1 t i A B i t n B n 1 i 1 n 1 t i B i 1 A B i A B 0 displaystyle begin aligned p t I n amp tI n A B amp tI n A sum i 0 n 1 t i B i amp sum i 0 n 1 tI n cdot t i B i sum i 0 n 1 A cdot t i B i amp sum i 0 n 1 t i 1 B i sum i 0 n 1 t i AB i amp t n B n 1 sum i 1 n 1 t i B i 1 AB i AB 0 end aligned nbsp p t I n det t I n A I n t n I n t n 1 c n 1 I n t c 1 I n c 0 I n displaystyle p t I n det tI n A I n t n I n t n 1 c n 1 I n cdots tc 1 I n c 0 I n nbsp 因两多项式 他们的对应项系数相等得 B n 1 I n B i 1 A B i c i I n for 1 i n 1 A B 0 c 0 I n displaystyle B n 1 I n qquad B i 1 AB i c i I n quad text for 1 leq i leq n 1 qquad AB 0 c 0 I n nbsp 在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai 并将等式左右两边分别相加并合项得 O A n c n 1 A n 1 c 1 A c 0 I n p A displaystyle O A n c n 1 A n 1 cdots c 1 A c 0 I n p A nbsp 得证 抽象化與推廣 编辑前述證明用到係數在k t displaystyle k t nbsp 的矩陣的克萊姆法則 事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣 藉此 凱萊 哈密頓定理可以推廣到一個交換環R displaystyle R nbsp 上的任何有限生成自由模M displaystyle M nbsp 向量空間是特例 中山正引理的一種證明就用到這個技巧 外部連結 编辑PlanetMath 上的證明 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 凱萊 哈密頓定理 amp oldid 67914015, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,