群論, 在群論這一數學的分支裡, 階這一詞被使用在兩個相關連的意義上, 一個群的階是指其势, 即其元素的個數, 一個群內的一個元素a之階, 有時稱為週期, 是指會使得am, e的最小正整數m, 其中的e為這個群的單位元素, 且am為a的m次冪, 若沒有此數存在, 則稱a有無限階, 有限群的所有元素都有有限阶, 一個群g的階被標記為ord, 而一個元素的階則標記為ord, 目录, 例子, 階和結構, 用元素的階來計數, 與同態的關係, 類方程, 公開的問題例子, 编辑例子, 包含三個物件的所有置換之對稱群s3會有下面. 在群論這一數學的分支裡 階這一詞被使用在兩個相關連的意義上 一個群的階是指其势 即其元素的個數 一個群內的一個元素a之階 有時稱為週期 是指會使得am e的最小正整數m 其中的e為這個群的單位元素 且am為a的m次冪 若沒有此數存在 則稱a有無限階 有限群的所有元素都有有限阶 一個群G的階被標記為ord G 或 G 而一個元素的階則標記為ord a 或 a 目录 1 例子 2 階和結構 3 用元素的階來計數 4 與同態的關係 5 類方程 6 公開的問題例子 编辑例子 包含三個物件的所有置換之對稱群S3會有下面的乘法表 e s t u v we e s t u v ws s e v w t ut t u e s w vu u t w v e sv v w s e u tw w v u t s e這個群有六個元素 所以ord S3 6 以定義可知 單位元素e的階為1 s t和w的平方都為e 所以這些群元素的階都為2 剩下的 u和v的階為3 因為u2 v 且 u3 vu e 而v2 u 且 v3 uv e 階和結構 编辑由一個群或其內之元素的階可以大致知道群的結構 簡略地說 階的因式分解越複雜 這個群就會越複雜 若群G的階為1 則這個群稱為平凡群 給定一元素a 則ord a 1若且唯若a為其單位元素 若G內的每一個 非單位 元素和其逆元素相同 故a2 e 則ord a 2且因此G會是個阿貝爾群 因為ab bb ab aa b ba ba a ba 此一敘述的相反不一定為對 例如 整數同餘6之 加法 循環群Z6為可換的 但數字2的階為3 2 2 2 6 0 mod 6 階兩種概念之間的關係如下 若給出一個由a產生之子群 a a k k Z displaystyle langle a rangle a k k in mathbb Z nbsp 則 ord a ord a displaystyle operatorname ord a operatorname ord langle a rangle nbsp 對於任一個整數k 會有 ak e 若且唯若 ord a 整除 k 之關係 一般來說 G的每個子群之階都會整除G的階 更精確地來說 若H是G的一個子群 則 ord G ord H G H 其中 G H 是於G內的H之指標 為一整數 此為拉格朗日定理上述會有一個立即的結論為 一個群的每一個元素之階都會整除此一群的階 例如 在上面所示之對稱群中 ord S3 6 且其內元素的階分別為1 2或3 下面的部份相反對有限群為真 若d會整除一個群G的階且d為一個質數 則存在一個內G內為d階的元素 這有時被稱為柯西定理 此一敘述在其階為合數時並不成立 如克萊因四元群中即不存在一個4階的元素 這可以用數學歸納法來證明 1 這個定理的結論包括 一個群G的階為一個質數p的次方若且唯若對每個在G內的a ord a 都是p的某個次方 2 若a有無限階 則a的所有次方也都會有無限階 若a有有限階 則對於a的次方的階會有下列的公式 ord ak ord a gcd ord a k 特別地是 a和其逆元素a 1會有相同的階 並不存在一個將a和b的階關連到其乘積ab的階之一般公式 a和b都有著有限階而ab則有著無限階的情形還是有可能的 若ab ba 則至少可知ord ab 會整除lcm ord a ord b 其結論可證明在一個有限阿貝爾群中 若m為所有群元素的階之中的最大值 則每一個元素的階都會整除m 用元素的階來計數 编辑若G是一個有n階的有限群 且d是n的因數 則G內有d階的元素個數會為f d 的倍數 其中f為歐拉函數 為不大於d且互質於d的正整數之個數 例如 在S3的例子中 f 3 2 且確實有恰好兩個3階的元素 這個定理對為2階之元素沒有什麼有用的資訊 因為f 2 1 與同態的關係 编辑群同態會縮減元素的階 若f G H是一個同態 且a是G內一個有限階的元素 則ord f a 會整除ord a 若f為單射的 則ord f a ord a 這通常可以被用來證明在兩個給定之離散群中不存在 單射 同態 例如 不存在一個非當然同態h S3 Z5 因為每個在Z5內除了0之外的元素都有著5階 而不可以整除在S3內有1 2 3階的元素 更進一步的結論有共軛元素會有相同的階 類方程 编辑一個關於階的重要結論為類方程 其將有限群G的階連結至其中心Z G 的階和其非當然共軛類的多寡 G Z G i d i displaystyle G Z G sum i d i nbsp 其中di為非當然共軛類的多寡 其為 G 大於1的純因數 且會相等於某些G的非當然純子群的指標 例如 S3的中心為只有單位元素e之當然群 而此方程則讀做 S3 1 2 3 公開的問題 编辑一些有關群和其元素較深的問題包含在伯恩賽德問題裡 有些的問題至今仍然未解 取自 https zh wikipedia org w index php title 階 群論 amp oldid 71595667, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,