環圖

在抽象代數子領域群論中，群的環圖展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。

環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的 aⁿ 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這個多邊形中所有元素都是同一個環的成員。

環

環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 a 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a⁶ = e。那么 a² 的冪的集合 {a², a⁴, e} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a⁵ 生成的環和 a 自身生成的環一樣。

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 a。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 e 到 a, a 到 a², ... a^n-1 到 aⁿ, ... 直到回到 e。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果 a² = e，a 是 2 階的(對合)，它與 e 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

性質

作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih₄。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 e 指示單位元。

 

二面體群 Dih₄ 的環圖。

^o	e	b	a	a^2	a^3	ab	a^2b	a^3b
e	e	b	a	a^2	a^3	ab	a^2b	a^3b
b	b	e	a^3b	a^2b	ab	a^3	a^2	a
a	a	ab	a^2	a^3	e	a^2b	a^3b	b
a^2	a^2	a^2b	a^3	e	a	a^3b	b	ab
a^3	a^3	a^3b	e	a	a^2	b	ab	a^2b
ab	ab	a	b	a^3b	a^2b	e	a^3	a^2
a^2b	a^2b	a^2	ab	b	a^3b	a	e	a^3
a^3b	a^3b	a^3	a^2b	ab	b	a^2	a	e

注意環 e, a, a², a³。它可以從乘法表中 a 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: (a³)²=a², (a³)³=a 而 (a³)⁴=e 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。

 

四元群 Q₈ 的環圖。

包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih₄，我們可能想要在 a² 和 e 之間連線；因為 (a²)²=e；但是因為 a² 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z₂ x Z₈ 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)

 

16 階群 Z₂ x Z₈ 的環圖。

 

16 階模群的環圖。

Z₂ x Z₈ 的乘法表如下:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1
3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3
5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5
7	6	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4
8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7
9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6
10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8
12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10
14	15	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
15	14	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12

從環圖中可得出的其他信息

• 元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。

特定群家族的圖特征

特定類型的群有典型的圖:

• 循環群 Z_n 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

• 在 n 是素數的時候，形如 (Z_n)^m 的群將有 (n^m-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。

Z2²	Z2³	Z2^4	Z3²

• 二面體群 Dih_n 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。

Dih1	Dih2	Dih3	Dih4	Dih5	Dih6	Dih7

• n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 S_n 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 S_n 的環圖的子圖。

參見

• 小群列表
• 凱萊圖

外部連結

• （[//web.archive.org/web/20210406013339/http://mathworld.wolfram.com/CycleGraph.html 页面存档备份，存于互联网档案馆） Cycle graph article on MathWorld]

引用

• Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.