小群列表

下面的數學列表包含著以群同構來分之小階有限群。

這個列表可以被用來決定一個給定的有限群G會同構於哪一種群：首先確定G的階，然後再找下面列表中有相同階的候選群。若知道G為可換與否，某些的候選群便可以立刻被刪掉。為了分別剩下的候選群，可以看給定之群內每個元素的階，並對照候選群內每個元素的階。

術語

• Z_n：其階為n之循環群(通常C_n或Z/nZ之符號也會被使用)。
• Dih_n：其階為2n的二面體群(通常D_n之符號也會被使用，有時則會用D_2n)。
• S_n：n階的對稱群，包含有n!個n個元素的置換。
• A_n：n階的交錯群，包含有n!/2個n個元素的偶置換。
• Dic_n：其階為4n的雙循環群。

Z_n和Dih_n之符號在三維點群C_n和D_n中有著沒有相同符號的優點。其存在著多於此兩類的等距同構群，但這些都有著相同的抽象群類型。

符號G × H表示是兩個群的直積。阿貝爾群和簡單群會加上注釋(對小於60階之群，簡單群會恰好是循環群Z_n，其中的n為質數。)下面會以等號(=)來標註同構。

環圖內的單位元素會以黑圓圈來表示。圖環不能唯一地表示一個群之最小階為16。

下面列表中的子群，當然群和群自身並不會被列出來。

小非可換群的列表

另見小阿貝爾群列表和下面合併的列表。

注意如「3×Z₂」之標記表示其有3個Z₂類型的子群(而不是Z₂的一個左陪集)，而其他地方裡的×則表示直積。

階	群	子群	性質	環圖
6	S3 = Dih3	Z3 , 3 × Z2	最小的非可換群
8	Dih4	Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2	非可換
	四元群, Q8 = Dic2	3 × Z4 , Z2	非可換；最小的漢彌爾頓群
10	Dih5	Z5 , 5 × Z2	非可換
12	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2	非可換
	A4	Z2^2, 4 × Z3, 3 × Z2	非可換；最小確定拉格朗日定理之相反敘述不是對的群：沒有6階的子群
	Dic3 = Z3和Z4的半直積，其中Z4以反演作用於Z3上	Z2, Z3, 3 × Z4, Z6	非可換
14	Dih7	Z7 , 7 × Z2	非可換
16	Dih8	Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2	非可換
	Dih4 × Z2	2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z2^3, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2	非可換
	廣義四元群, Q16 = Dic4		非可換
	Q8 × Z2		非可換、漢彌爾頓群	wrong
	16階之擬二面體群		非可換
	16階之模群		非可換
	Z4和Z4的半直和，其中一個以反演作用在另一個上		非可換
	由泡利矩陣產生的群		非可換
	G4,4		非可換

合併列表

階	群	子群	性質	環圖
1	平凡群 = Z1 = S1 = A2	-	平凡、循环、交错、对称、初等
2	Z2 = S2 = Dih1	-	可換、簡單、最小非當然群
3	Z3 = A3	-	可換、簡單
4	Z4	Z2	可換
	克萊因四元群 = Z2 × Z2 = Dih2	3 × Z2	可換、最小非循環群
5	Z5	-	可換、簡單
6	Z6 = Z2 × Z3	Z2 , Z3	可換
	S3 = Dih3	Z3 , 3 × Z2	最小非可換群
7	Z7	-	可換、簡單
8	Z8	Z4 , Z2	可換
	Z2 ×Z4	2 × Z4 , 3 ×Z2 , Dih2	可換
	Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2	7 × Z2 × Z2 , 7 × Z2	可換
	Dih4	Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2	非可換
	四元群, Q8 = Dic2	3 × Z4 , Z2	非可換、最小漢彌爾頓群
9	Z9	Z3	可換
	Z3 × Z3	4 × Z3	可換
10	Z10 = Z2 × Z5	Z5 , Z2	可換
	Dih5	Z5 , 5 × Z2	非可換
11	Z11	-	可換、簡單
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2	可換
	Z2 × Z6 = Z2 × Z2 × Z3 = Dih2 × Z3	3 × Z6, Z3, Dih2, 3 × Z2	可換
	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2	非可換
	A4	Z2^2, 4 × Z3, 3 × Z2	非可換；最小確定拉格朗日定理之相反敘述不是對的群：沒有6階的子群
	Dic3 = Z3和Z4的半直積，其中Z4以反演作用於Z3上	Z2, Z3, 3 × Z4, Z6	非可換
13	Z13	-	可換、簡單
14	Z14 = Z2 × Z7	Z7 , Z2	可換
	Dih7	Z7 , 7 × Z2	非可換
15	Z15 = Z3 × Z5	Z5 , Z3	可換
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2	可換
	Z2^4	15 × Z2, 35 × Dih2, 15 × Z2^3	可換
	Z4 × Z2^2	7 × Z2, 4 × Z4, 7 × Dih2, Z2^3, 6 × Z4 × Z2	可換
	Z8 × Z2	3 × Z2, 2 × Z4, Dih2, 2 × Z8, Z4 × Z2	可換
	Z4^2	3 × Z2, 6 × Z4, Dih2, 3 × Z4 × Z2	可換
	Dih8	Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2	非可換
	Dih4 × Z2	2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z2^3, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2	非可換
	廣義四元群, Q16 = Dic4		非可換
	Q8 × Z2		非可換、漢彌爾頓群	wrong
	16階之擬二面體群		非可換
	16階之模群		非可換
	Z4和Z4的半直和，其中一個以反演作用在另一個上		非可換
	由泡利矩陣產生的群		非可換
	G4,4		非可換

小群圖書館

群論電腦代數系統GAP包含著描述了「小」階之群的「小群圖書館」。這些群以同構為分列出。現在，這個圖書館已包含了下列個群：

• 至多2000階的群，除了1024階的(423 164 062個群)；
• 5⁵階和7⁴階的群(92個群)；
• qⁿ×p階的群，其中qⁿ整除2⁸、3⁶、5⁵或7⁴且p為不同於q的任意質數；
• 因式分解成至多3個質數的群。

它包含著上述的群以電腦上可讀形式顯示之詳盡描述。

這個圖書館由Hans Ulrich Besche、Bettina Eick和Eamonn O'Brien所建構及準備；見http://www.tu-bs.de/~hubesche/small.html。^{[永久失效連結]}

另見

• 小拉丁方陣和擬群

外部連結

• 小群（页面存档备份，存于互联网档案馆）