幾何學 中，三維點群 是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群 。等價的說法是，其為球面 的對稱群。此類群皆為正交群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 子群 ，即固定原點的全體等距同構 組成的群 ，亦可視為全體正交矩陣 的乘法群。 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 歐氏群 E ( 3 ) {\displaystyle E(3)}
立體的對稱群 必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱 。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。
立體的對稱群，有時稱為全體對稱群 作強調，用以突顯與旋轉群 （或真對稱群 ）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 當且僅當 立體具手性
三維點群在化學 廣泛用於描述分子 的對稱，及組成共價鍵 的分子軌域 的對稱。此背景下，也稱分子對稱群
有限考克斯特群 是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 考克斯特－丹金圖 考克斯特符號
群結構 编辑 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 直接歐氏群 E + ( 3 ) {\displaystyle E^{+}(3)} 直接 等距同構，即保持定向 的等距變換。 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)}
O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 點反演 生成的群 { I , − I } {\displaystyle \{I,-I\}} 直積 ：（此處點反演以其矩陣 − I {\displaystyle -I} 單位矩陣 I {\displaystyle I} − 1 {\displaystyle -1}
O ( 3 ) = S O ( 3 ) × { I , − I } . {\displaystyle O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.} 所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應 ，此外， O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} H {\displaystyle H} S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} K {\displaystyle K}
K = H × { I , − I } , {\displaystyle K=H\times \{I,-I\},} H = K ∩ S O ( 3 ) . {\displaystyle H=K\cap SO(3).} 例如，若 H {\displaystyle H} C 2 {\displaystyle C_{2}} K {\displaystyle K} C 2 h {\displaystyle C_{\mathrm {2h} }} H {\displaystyle H} C 3 {\displaystyle C_{3}} K {\displaystyle K} S 6 {\displaystyle S_{6}}
若直接等距同構群 H {\displaystyle H} 指數 2 {\displaystyle 2} L {\displaystyle L}
M = L ∪ ( ( H ∖ L ) × { − I } ) , {\displaystyle M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),} 含有間接等距變換，但不含點反演。式中 ( A , I ) {\displaystyle (A,I)} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} C 4 {\displaystyle C_{4}} M {\displaystyle M} S 4 {\displaystyle S_{4}}
換言之， M {\displaystyle M} H ∖ L {\displaystyle H\setminus L} − I {\displaystyle -I} M {\displaystyle M} H {\displaystyle H}
二維情況下， k {\displaystyle k} 旋轉 的循環群 C k {\displaystyle C_{k}} O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} S O ( 2 ) {\displaystyle SO(2)} 正規子群 。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的 k {\displaystyle k} C k {\displaystyle C_{k}} 2 {\displaystyle 2} C n {\displaystyle C_{n}} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} C n {\displaystyle C_{n}}
固定原點的三維等距變換 编辑 R 3 {\displaystyle \mathrm {R} ^{3}} O ( 3 , R ) {\displaystyle O(3,\mathbb {R} )} O ( 3 ) {\displaystyle O(3)}
子群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 單位（恆等變換）； 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 繞過原點某軸的旋轉，且角度為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 及以上變換但額外乘上點反演 （將向量 x {\displaystyle x} − x {\displaystyle -x} 點反演； 繞過原點的某軸，作角度不為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 關於過原點某平面的鏡射。 後三種元素又稱瑕旋轉
連同平移變換的簡介，見歐幾里得群 。
共軛 编辑 比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類 ，意思是其對稱群 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 共軛子群 ，即存在 g ∈ O ( 3 ) {\displaystyle g\in O(3)} H 1 = g − 1 H 2 g {\displaystyle H_{1}=g^{-1}H_{2}g}
舉例：
兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類； 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。 若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉 g {\displaystyle g} g {\displaystyle g} g {\displaystyle g} 空間群 則不然，有 11 {\displaystyle 11} 空間群 具有手性，因為有螺旋變換。）
無窮等距變換群 编辑 有許多無窮等距變換群 ，如繞任意軸轉任意無理 角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為 π {\displaystyle \pi } 循環群 ；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群 。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言 自由群 。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。
作為拓撲群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 閉子群 。以下討論 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)}
無標記特定點的球面 ，對稱群為 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 整個 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 球對稱 群、 相應的旋轉群 是 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉 ，另外可以： 添加或不添加過軸的各鏡面反射， 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個） 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性
此七個連續群，稱為極限點群 或居里極限群 ，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里 。[1] [2] O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 國際記號 中，此七個群記為 ∞ , ∞ 2 , ∞ / m , ∞ m m , ∞ / m m , ∞ ∞ , ∞ ∞ m {\displaystyle \infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} } [3]
有限等距變換群 编辑 三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表
不別共軛之異 ，三維有限點群只有：
7 {\displaystyle 7} 圓柱面 的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群 （英語：axial point groups ）或棱柱點群 （英語：prismatic point groups ）。 7 {\displaystyle 7} 4 {\displaystyle 4} 4 {\displaystyle 4} 3 {\displaystyle 3} 10 {\displaystyle 10} 6 {\displaystyle 6} 根據晶體學限制定理 ，僅得很少點群與離散平移對稱 27 {\displaystyle 27} 5 {\displaystyle 5} 32 {\displaystyle 32} 晶體學點群
七類軸向點群 编辑 有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} n = 1 {\displaystyle n=1} 循環對稱 二面對稱 二維點群 帶群 [4] n {\displaystyle n}
下表列出點群的幾種記號：晶體學 的赫爾曼–莫甘記號 、分子對稱性 的熊夫利記號 軌形記號 考克斯特記號 牆紙群 帶群 n {\displaystyle n} 1 , 2 , 3 , 4 , 6 {\displaystyle 1,2,3,4,6} 晶體學限制定理 ），而若移除該限制，則 n {\displaystyle n}
赫－莫 熊夫利 軌形 考克斯特 帶群 抽象結構 群階 例子 備註 n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} （圓柱） n {\displaystyle n} C n {\displaystyle C_{n}} n n {\displaystyle nn} [ n ] + {\displaystyle [n]^{+}} p1 循環群 Z n {\displaystyle Z_{n}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 2 n ¯ {\displaystyle {\overline {2n}}} n ¯ {\displaystyle {\overline {n}}} S 2 n {\displaystyle S_{2n}} n × {\displaystyle n\times } [ 2 n + , 2 + ] {\displaystyle [2n^{+},2^{+}]} p11g Z 2 n {\displaystyle Z_{2n}} 2 n {\displaystyle 2n} n {\displaystyle n} 旋轉反射 對稱 2 n {\displaystyle 2n} 抽象對稱群 混淆 n / m {\displaystyle n/\mathrm {m} } 2 n ¯ {\displaystyle {\overline {2n}}} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} n ∗ {\displaystyle n^{*}} [ n + , 2 ] {\displaystyle [n^{+},2]} p11m Z n × Z 2 {\displaystyle Z_{n}\times Z_{2}} 2 n {\displaystyle 2n} n m m {\displaystyle n\mathrm {mm} } n m {\displaystyle n\mathrm {m} } C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} ∗ n n {\displaystyle {}^{*}nn} [ n ] {\displaystyle [n]} p1m1 二面體群 D i h n {\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}} 2 n {\displaystyle 2n} 稜錐 對稱 n 22 {\displaystyle n22} n 2 {\displaystyle n2} D n {\displaystyle D_{n}} 22 n {\displaystyle 22n} [ n , 2 ] + {\displaystyle [n,2]^{+}} p211 D i h n {\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}} 2 n {\displaystyle 2n} 二面體對稱 2 n ¯ 2 m {\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} } n ¯ m {\displaystyle {\overline {n}}\mathrm {m} } D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 2 ∗ n {\displaystyle 2^{*}n} [ 2 n , 2 + ] {\displaystyle [2n,2^{+}]} p2mg D i h 2 n {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}} 4 n {\displaystyle 4n} 反稜柱 對稱 n / m m m {\displaystyle n/\mathrm {mmm} } 2 n ¯ 2 m {\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} } D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} ∗ 22 n {\displaystyle {}^{*}22n} [ n , 2 ] {\displaystyle [n,2]} p2mm D i h n × Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}} 4 n {\displaystyle 4n} 稜柱 對稱
對奇數 n {\displaystyle n} Z 2 n ≅ Z n × Z 2 {\displaystyle Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}} D i h 2 n ≅ D i h n × Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}
群 C n {\displaystyle C_{n}} C 1 {\displaystyle C_{1}} D n {\displaystyle D_{n}}
術語水平 （horizontal, h ）與豎直 （vertical, v ）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。
最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} O ( 3 ) {\displaystyle O(3)}
C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} S 2 {\displaystyle S_{2}} 點反演對稱 C 2 {\displaystyle C_{2}} 二重旋轉對稱 C s {\displaystyle C_{\mathrm {s} }} C 1 h {\displaystyle C_{1\mathrm {h} }} C 1 v {\displaystyle C_{1\mathrm {v} }} 反射對稱 ，生物學 兩側對稱 （英語：bilateral symmetry ）。七條圓柱形帶上，印有不同圖樣，使各自的對稱群等於七列軸向群中，取 n = 6 {\displaystyle n=6} 第一組單軸循環群 中， C n {\displaystyle C_{n}} n {\displaystyle n} 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 2 n {\displaystyle 2n} n {\displaystyle n} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 2 n {\displaystyle 2n} n {\displaystyle n} 稜錐 的對稱群。具 C n {\displaystyle C_{n}} D n {\displaystyle D_{n}} 螺旋槳 。
若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到 n {\displaystyle n} 複合 生成繞該些軸的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 4 n {\displaystyle 4n} D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 2 n {\displaystyle 2n} 二面體群 D n {\displaystyle D_{n}} n {\displaystyle n}
注意，在二維， D n {\displaystyle D_{n}} D n {\displaystyle D_{n}}
餘下一類是 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} D n v {\displaystyle D_{n\mathrm {v} }} 180 ∘ / n {\displaystyle 180^{\circ }/n} D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} n {\displaystyle n} 棱柱 和雙稜錐 的對稱群。 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} n {\displaystyle n} 反棱柱 的對稱群，亦是正 n {\displaystyle n} 偏方面體 的對稱群。最後， D n {\displaystyle D_{n}} n {\displaystyle n}
D 2 {\displaystyle D_{2}} D 2 h {\displaystyle D_{2\mathrm {h} }} D 2 {\displaystyle D_{2}} D 2 h {\displaystyle D_{2\mathrm {h} }} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} D 2 {\displaystyle D_{2}}
D 2 {\displaystyle D_{2}} 利普希茨四元數 可逆元 表示的旋轉，有一對二的關係。
群 S n {\displaystyle S_{n}} 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} n {\displaystyle n} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 2 n {\displaystyle 2n} S n {\displaystyle S_{n}} n {\displaystyle n} S n {\displaystyle S_{n}} n {\displaystyle n} D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 瑕旋轉 ，但不包含對應的旋轉。
七列軸向群的元素僅有下列四對重複：
C 1 h {\displaystyle C_{1\mathrm {h} }} C 1 v {\displaystyle C_{1\mathrm {v} }} 2 {\displaystyle 2} C s {\displaystyle C_{\mathrm {s} }} D 1 {\displaystyle D_{1}} C 2 {\displaystyle C_{2}} 2 {\displaystyle 2} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} D 1 h {\displaystyle D_{1\mathrm {h} }} C 2 v {\displaystyle C_{2\mathrm {v} }} 4 {\displaystyle 4} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} D 1 d {\displaystyle D_{1\mathrm {d} }} C 2 h {\displaystyle C_{2\mathrm {h} }} 4 {\displaystyle 4} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} S 2 {\displaystyle S_{2}} 點反演 生成的 2 {\displaystyle 2} C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }}
此處「重複」是指作為 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 2 {\displaystyle 2} 2 {\displaystyle 2} S 2 n {\displaystyle S_{2n}} Z 2 n {\displaystyle Z_{2n}}
群的構造亦可描述如下：
C n {\displaystyle C_{n}} C n {\displaystyle C_{n}} 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} E {\displaystyle E} C n , C n 2 , … , C n n − 1 {\displaystyle C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}} 0 , 2 π / n , 4 π / n , … , 2 ( n − 1 ) π / n {\displaystyle 0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n} S 2 n {\displaystyle S_{2n}} C 2 n σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }} σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }} C n {\displaystyle C_{n}} C 2 n σ h , C 2 n 3 σ h , C 2 n 5 σ h , … , C 2 n 2 n − 1 σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }} C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} C n {\displaystyle C_{n}} σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }} C n {\displaystyle C_{n}} σ h , C n σ h , C n 2 σ h , … , C n n − 1 σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} σ v , C n σ v , C n 2 σ v , … , C n n − 1 σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }} D n {\displaystyle D_{n}} C n {\displaystyle C_{n}} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} U = σ h σ v {\displaystyle U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} U , C n U , C n 2 U , … , C n n − 1 U {\displaystyle U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U} D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} C 2 n σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }} σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} S 2 n {\displaystyle S_{2n}} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , C 2 n 5 σ h σ v , … , C 2 n 2 n − 1 σ h σ v {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }} D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} C n , σ h , σ v {\displaystyle C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }} C n {\displaystyle C_{n}} C n h , C n v , D n {\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}} 取 n {\displaystyle n} ∞ {\displaystyle \infty }
赫－莫 熊夫利 軌形 考克斯特 是何序列的極限 抽象群 ∞ {\displaystyle \infty } C ∞ {\displaystyle C_{\infty }} ∞ ∞ {\displaystyle \infty \infty } [ ∞ ] + {\displaystyle [\infty ]^{+}} C n {\displaystyle C_{n}} Z ∞ {\displaystyle Z_{\infty }} S O ( 2 ) {\displaystyle SO(2)} ∞ ¯ , ∞ / m {\displaystyle {\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m} } C ∞ h {\displaystyle C_{\infty \mathrm {h} }} ∞ ∗ {\displaystyle \infty ^{*}} [ 2 , ∞ + ] {\displaystyle [2,\infty ^{+}]} C n h , S 2 n {\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}} Z 2 × Z ∞ {\displaystyle Z_{2}\times Z_{\infty }} Z 2 × S O ( 2 ) {\displaystyle Z_{2}\times SO(2)} ∞ m {\displaystyle \infty \mathrm {m} } C ∞ v {\displaystyle C_{\infty \mathrm {v} }} ∗ ∞ ∞ {\displaystyle {}^{*}\infty \infty } [ ∞ ] {\displaystyle [\infty ]} C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} D i h ∞ {\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }} O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} ∞ 2 {\displaystyle \infty 2} D ∞ {\displaystyle D_{\infty }} 22 ∞ {\displaystyle 22\infty } [ 2 , ∞ ] + {\displaystyle [2,\infty ]^{+}} D n {\displaystyle D_{n}} D i h ∞ {\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }} O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} ∞ ¯ m , ∞ / m m {\displaystyle {\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm} } D ∞ h {\displaystyle D_{\infty \mathrm {h} }} ∗ 22 ∞ {\displaystyle {}^{*}22\infty } [ 2 , ∞ ] {\displaystyle [2,\infty ]} D n h , D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }} Z 2 × D i h ∞ {\displaystyle Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }} Z 2 × O ( 2 ) {\displaystyle Z_{2}\times O(2)}
七個其他點群 编辑 餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體 對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中， C n {\displaystyle C_{n}} n {\displaystyle n} 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} S n {\displaystyle S_{n}} 熊夫利記號 軌形記號 考克斯特記號 赫爾曼–莫甘記號 及倘有的簡寫。
T , ( 332 ) {\displaystyle T,\ (332)} [ 3 , 3 ] + {\displaystyle [3,3]^{+}} 23 {\displaystyle 23} 12 {\displaystyle 12} 手性四面體對稱 有四條 C 3 {\displaystyle C_{3}} 立方體 的四條體對角線，也可以看成正四面體 四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條 C 2 {\displaystyle C_{2}} T {\displaystyle T} 同構 交錯群 A 4 {\displaystyle A_{4}} T d , T h {\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }} 正規子群 。本群的 12 {\displaystyle 12} 赫維茲四元數 24 {\displaystyle 24} 可逆元 ，有一對二的關係，而後者又稱為二元四面體群 T d , ( ∗ 332 ) {\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)} [ 3 , 3 ] {\displaystyle [3,3]} 4 ¯ 3 m {\displaystyle {\overline {4}}3\mathrm {m} } 24 {\displaystyle 24} 全四面體對稱 本群與 T {\displaystyle T} C 2 {\displaystyle C_{2}} C 3 {\displaystyle C_{3}} C 2 {\displaystyle C_{2}} S 4 {\displaystyle S_{4}} 正四面體 的對稱群。 T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} 4 {\displaystyle 4} 對稱群 S 4 {\displaystyle S_{4}} T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} 4 {\displaystyle 4} C 3 {\displaystyle C_{3}} C 3 v {\displaystyle C_{3\mathrm {v} }} T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} 軌道 有四件同樣的物體， T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} T h , ( 3 ∗ 2 ) {\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)} [ 3 + , 4 ] {\displaystyle [3^{+},4]} 2 / m 3 ¯ , m 3 ¯ {\displaystyle 2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}} 24 {\displaystyle 24} 五角十二面體 對稱排球 的縫線有 T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} 立方五角十二面體 ） T {\displaystyle T} C 3 {\displaystyle C_{3}} S 6 {\displaystyle S_{6}} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} A 4 × Z 2 {\displaystyle A_{4}\times Z_{2}} T {\displaystyle T} C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} 對稱群 S 4 {\displaystyle S_{4}} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} 偶排列 ，及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體 的對稱群。五角十二面體與前述的（面經分割的）立方體類似，但其中每個長方形換成有四邊等長，具一條對稱軸的五角形，而五角形餘下一條不同長度的邊，對應立方體的面上新增的線段。換言之，可以想像立方體的面在分割線隆起，並在該處變窄（即分割線變短）。本群為全二十面體對稱群的子群（但不正規），且是作為等距變換群的子群，而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸，而本群有其中四條。本群亦為 O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} T etrahedron O , ( 432 ) {\displaystyle O,\ (432)} [ 4 , 3 ] + {\displaystyle [4,3]^{+}} 432 {\displaystyle 432} 24 {\displaystyle 24} 手性八面體對稱 本群與 T {\displaystyle T} C 2 {\displaystyle C_{2}} C 4 {\displaystyle C_{4}} C 2 {\displaystyle C_{2}} S 4 {\displaystyle S_{4}} 24 {\displaystyle 24} T {\displaystyle T} D 3 {\displaystyle D_{3}} O {\displaystyle O} 軌道 有四件同樣的物體，而 O {\displaystyle O} 立方體 與正八面體 的旋轉群。若用四元數 表示旋轉，則 O {\displaystyle O} 24 {\displaystyle 24} 赫維茲四元數 可逆元 及範數平方為 2 {\displaystyle 2} 24 {\displaystyle 24} 利普希茨四元數 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} T {\displaystyle T} O h , ( ∗ 432 ) {\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)} [ 4 , 3 ] {\displaystyle [4,3]} 4 / m 3 ¯ 2 / m , m 3 ¯ m {\displaystyle 4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m} } 48 {\displaystyle 48} 全八面體對稱 本群與 O {\displaystyle O} T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} S 4 × Z 2 {\displaystyle S_{4}\times Z_{2}} O {\displaystyle O} C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} 立方體 與正八面體 的對稱群。見八面體對稱 I , ( 532 ) {\displaystyle I,(532)} [ 5 , 3 ] + {\displaystyle [5,3]^{+}} 532 {\displaystyle 532} 60 {\displaystyle 60} 手性二十面體對稱 本群為正二十面體 與正十二面體 的旋轉群，亦是全正二十面體對稱群 I h {\displaystyle I_{\mathrm {h} }} 指標 2 {\displaystyle 2} 正規子群 。本群的子群中，有十個 D 3 {\displaystyle D_{3}} D 5 {\displaystyle D_{5}} T {\displaystyle T} 五複合正四面體 ）。抽象而言， I {\displaystyle I} 同構 於 5 {\displaystyle 5} 交錯群 A 5 {\displaystyle A_{5}} T {\displaystyle T} I {\displaystyle I} 四元數 表示旋轉，則 I {\displaystyle I} 120 {\displaystyle 120} 二十數 可逆元 。與先前一樣，此為一對二的關係。 I h , ( ∗ 532 ) {\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)} [ 5 , 3 ] {\displaystyle [5,3]} 53 ¯ 2 / m , 53 ¯ m {\displaystyle {\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m} } 120 {\displaystyle 120} 全二十面體對稱 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。 I h {\displaystyle I_{\mathrm {h} }} A 5 × Z 2 {\displaystyle A_{5}\times Z_{2}} I {\displaystyle I} C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} D 3 d {\displaystyle D_{3\mathrm {d} }} D 5 d {\displaystyle D_{5\mathrm {d} }} T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }}
相關的連續群有：
旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} ∞ ∞ {\displaystyle \infty \infty } K {\displaystyle K} 正交群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} ∞ ∞ m {\displaystyle \infty \infty \mathrm {m} } K h {\displaystyle K_{\mathrm {h} }} 如無窮等距變換群 一節所言，任何物理實體，若有 K {\displaystyle K} K h {\displaystyle K_{\mathrm {h} }}
軌形記號與階 编辑 若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於 2 {\displaystyle 2} 軌形 歐拉示性數 。軌形的歐拉示性數是將 2 {\displaystyle 2}
無 ∗ {\displaystyle {}^{*}} ∗ {\displaystyle {}^{*}} n {\displaystyle n} ( n − 1 ) / n {\displaystyle (n-1)/n} 在 ∗ {\displaystyle {}^{*}} n {\displaystyle n} ( n − 1 ) / ( 2 n ) {\displaystyle (n-1)/(2n)} ∗ {\displaystyle {}^{*}} × {\displaystyle \times } 1 {\displaystyle 1} 此公式同樣適用於壁紙群 帶群 2 {\displaystyle 2} 壁紙群
反射考克斯特群 编辑 三維考克斯特群的基本域 A 3 , [ 3 , 3 ] , {\displaystyle A_{3},\ [3,3],} B 3 , [ 4 , 3 ] , {\displaystyle B_{3},\ [4,3],} H 3 , [ 5 , 3 ] , {\displaystyle H_{3},\ [5,3],} 6 {\displaystyle 6} 3 + 6 {\displaystyle 3+6} 15 {\displaystyle 15} 2 A 1 , [ 1 , 2 ] , {\displaystyle 2A_{1},\ [1,2],} 3 A 1 , [ 2 , 2 ] , {\displaystyle 3A_{1},\ [2,2],} A 1 A 2 , [ 2 , 3 ] , {\displaystyle A_{1}A_{2},\ [2,3],} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3} 4 {\displaystyle 4} A 1 , [ 1 ] , {\displaystyle A_{1},\ [1],} 2 A 1 , [ 2 ] , {\displaystyle 2A_{1},\ [2],} A 2 , [ 3 ] , {\displaystyle A_{2},\ [3],} 1 {\displaystyle 1} 2 {\displaystyle 2} 3 {\displaystyle 3}
三維反射點群又稱為考克斯特群 ，能以考克斯特－鄧肯圖 球面三角形 區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形 半球面 。在考克斯特記號 正四面體對稱 [ 3 , 3 ] {\displaystyle [3,3]} 正八面體對稱 [ 4 , 3 ] {\displaystyle [4,3]} 正二十面體對稱 [ 5 , 3 ] {\displaystyle [5,3]} 二面體對稱 [ p , 2 ] {\displaystyle [p,2]} n h / 2 {\displaystyle nh/2} h {\displaystyle h} 考克斯特數 n {\displaystyle n} [5]
熊夫利記號 考克斯特－ 考克斯特記號 群階 考克斯特數 h {\displaystyle h} 鏡數 m {\displaystyle m} 多面體群 T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} A 3 {\displaystyle A_{3}} [ 3 , 3 ] {\displaystyle [3,3]} 24 {\displaystyle 24} 4 {\displaystyle 4} 6 {\displaystyle 6} O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} B 3 {\displaystyle B_{3}} [ 4 , 3 ] {\displaystyle [4,3]} 48 {\displaystyle 48} 6 {\displaystyle 6} 3 + 6 {\displaystyle 3+6} I h {\displaystyle I_{\mathrm {h} }} H 3 {\displaystyle H_{3}} [ 5 , 3 ] {\displaystyle [5,3]} 120 {\displaystyle 120} 10 {\displaystyle 10} 15 {\displaystyle 15} 二面體群 D 1 h {\displaystyle D_{1\mathrm {h} }} 2 A 1 {\displaystyle 2A_{1}} [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} 4 {\displaystyle 4}
三維點群, 幾何學中, 是三維空間中, 任何一個固定原點的對稱群, 等價的說法是, 其為球面的對稱群, 此類群皆為正交群o, displaystyle, 的子群, 即固定原點的全體等距同構組成的群, 亦可視為全體正交矩陣的乘法群, displaystyle, 本身則是全體等距同構的歐氏群e, displaystyle, 的子群, 立體的對稱群必由等距同構組成, 反之, 要分析等距對稱構成的群, 就是分析所有可能的對稱, 有界三維立體的全體等距同構, 必存在共同的不動點, 不妨設其中之一為原點, 立體的對稱群, 有時. 幾何學中 三維點群是三維空間中 任何一個固定原點的對稱群 等價的說法是 其為球面的對稱群 此類群皆為正交群O 3 displaystyle O 3 的子群 即固定原點的全體等距同構組成的群 亦可視為全體正交矩陣的乘法群 O 3 displaystyle O 3 本身則是全體等距同構的歐氏群E 3 displaystyle E 3 的子群 立體的對稱群必由等距同構組成 反之 要分析等距對稱構成的群 就是分析所有可能的對稱 有界三維立體的全體等距同構 必存在共同的不動點 不妨設其中之一為原點 立體的對稱群 有時稱為全體對稱群作強調 用以突顯與旋轉群 或真對稱群 的分別 立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群S O 3 displaystyle SO 3 之交 立體的旋轉群等於全體對稱群 當且僅當立體具手性 英语 chirality mathematics 三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱 及組成共價鍵的分子軌域的對稱 此背景下 也稱分子對稱群 有限考克斯特群是一族特殊的點群 僅由過原點的若干個鏡射生成 n displaystyle n 階考克斯特群是由n displaystyle n 個鏡射生成 可以考克斯特 丹金圖 英语 Coxeter Dynkin diagram 表示 考克斯特符號 英语 Coxeter notation 則改為用方括號和數字描述 並設有其他標記 用以表示旋轉群或其他子群 目录 1 群結構 2 固定原點的三維等距變換 3 共軛 4 無窮等距變換群 5 有限等距變換群 6 七類軸向點群 7 七個其他點群 8 軌形記號與階 9 反射考克斯特群 10 旋轉群 11 旋轉群與其他群的對應 12 極大對稱群 13 按抽象群同構分類 13 1 循環群 13 2 二面群 13 3 其他 14 基本域 15 二元多面體群 16 參見 17 參考文獻 18 外部鏈結 群結構 编辑 S O 3 displaystyle SO 3 是直接歐氏群E 3 displaystyle E 3 的子群 其元素皆是直接等距同構 即保持定向的等距變換 S O 3 displaystyle SO 3 僅含保持原點不變的直接等距同構 O 3 displaystyle O 3 則是S O 3 displaystyle SO 3 與點反演生成的群 I x2212 I displaystyle I I 的直積 此處點反演以其矩陣 x2212 I displaystyle I 表示 即單位矩陣I displaystyle I 乘上 x2212 1 displaystyle 1 O 3 S O 3 x00D7 I x2212 I displaystyle O 3 SO 3 times I I 所以 三維空間中 藉點反演 可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應 此外 O 3 displaystyle O 3 中僅由直接等距變換組成的子群H displaystyle H 必包含在S O 3 displaystyle SO 3 中 亦與O 3 displaystyle O 3 中含有點反演的子群K displaystyle K 一一對應 對應關係如下 K H x00D7 I x2212 I displaystyle K H times I I H K x2229 S O 3 displaystyle H K cap SO 3 例如 若H displaystyle H 為C 2 displaystyle C 2 則K displaystyle K 為C 2 h displaystyle C mathrm 2h 若H displaystyle H 為C 3 displaystyle C 3 則K displaystyle K 為S 6 displaystyle S 6 定義載於下文 若直接等距同構群H displaystyle H 有指數 英语 Index of a subgroup 為2 displaystyle 2 的子群L displaystyle L 則除以上含點反演的子群外 還有另一個對應的子群 M L x222A H x2216 L x00D7 x2212 I displaystyle M L cup left H setminus L times I right 含有間接等距變換 但不含點反演 式中 A I displaystyle A I 與A displaystyle A 視為等同 舉例H displaystyle H 為C 4 displaystyle C 4 而M displaystyle M 為S 4 displaystyle S 4 換言之 M displaystyle M 是將H x2216 L displaystyle H setminus L 中的變換 乘上 x2212 I displaystyle I 得到 此群M displaystyle M 作為抽象群與H displaystyle H 同構 反之 任意對稱群 若有間接等距變換 但無點反演 則可以將所有間接變換反演 而變成旋轉群 等距群的分類 見下文 中 可以用此性質化簡問題 二維情況下 k displaystyle k 重旋轉的循環群C k displaystyle C k 皆是O 2 displaystyle O 2 和S O 2 displaystyle SO 2 的正規子群 在三維中 固定旋轉軸 則相應有繞該軸的k displaystyle k 重循環群C k displaystyle C k 是繞該軸的全體旋轉群的正規子群 此外 由於指數為2 displaystyle 2 的子群必正規 C n displaystyle C n 在C n v displaystyle C n mathrm v 中正規 也在C n h displaystyle C n mathrm h 中正規 此處C n v displaystyle C n mathrm v 是向C n displaystyle C n 添加過旋轉軸的反射面生成 而C n h displaystyle C n mathrm h 則是向C n displaystyle C n 添加與軸垂直的反射面生成 固定原點的三維等距變換 编辑 R 3 displaystyle mathrm R 3 的等距變換中 固定原點的變換 組成正交群O 3 R displaystyle O 3 mathbb R 簡記為O 3 displaystyle O 3 其元素分類如下 子群S O 3 displaystyle SO 3 中 單位 恆等變換 繞過原點某軸的旋轉 且角度不為180 x2218 displaystyle 180 circ 繞過原點某軸的旋轉 且角度為180 x2218 displaystyle 180 circ 及以上變換但額外乘上點反演 將向量x displaystyle x 映去 x2212 x displaystyle x 即 點反演 繞過原點的某軸 作角度不為180 x2218 displaystyle 180 circ 的旋轉 後再作一次鏡射 鏡射面過原點 且與旋轉軸垂直 關於過原點某平面的鏡射 後三種元素又稱瑕旋轉 視乎定義 末一種未必算 連同平移變換的簡介 見歐幾里得群 共軛 编辑 比較兩件立體的對稱類時 原點可以分別選取 即兩件立體的中心不必相同 更甚者 兩件立體具有相同對稱類 意思是其對稱群H 1 H 2 displaystyle H 1 H 2 在O 3 displaystyle O 3 中為共軛子群 即存在g x2208 O 3 displaystyle g in O 3 使H 1 g x2212 1 H 2 g displaystyle H 1 g 1 H 2 g 舉例 兩件立體各僅有鏡射對稱 即使並非關於同一鏡面 仍屬同樣的對稱類 同樣 若各僅有三重旋轉對稱 即使軸向不同 仍屬同樣的對稱類 若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面 或兩者皆有 則兩個對稱群同屬一類 當且僅當有另一個旋轉g displaystyle g 將前一個對稱群的整個結構 變換成後一個對稱群 此種旋轉會多於一個 但不會是無窮多個 僅有一條旋轉軸或一個鏡面時 此種旋轉方會有無窮多個 按定義 上文的g displaystyle g 不必為旋轉 也可以為鏡射 然而 由於對稱群的結構不具手性 祇需取g displaystyle g 為旋轉 但空間群則不然 有11 displaystyle 11 對空間群具有手性 因為有螺旋變換 無窮等距變換群 编辑 有許多無窮等距變換群 如繞任意軸轉任意無理角度 即圈數或度數為無理數 或弧度數為 x03C0 displaystyle pi 的無理數倍 的旋轉 所生成的無窮循環群 若加入繞同一軸的其他旋轉 還可以組成許多非循環的交換群 取不共軸的旋轉 則生成非交換群 一般而言 英语 Generic property 此等非交換群皆為自由群 僅有特別選取的旋轉 方能得到有限群 否則一般皆是無窮群 作為拓撲群O 3 displaystyle O 3 的子群 上述無窮子群皆非閉子群 以下討論O 3 displaystyle O 3 的拓撲閉子群 無標記特定點的球面 對稱群為O 3 displaystyle O 3 整個O 3 displaystyle O 3 是球對稱群 相應的旋轉群是S O 3 displaystyle SO 3 其他無窮等距變換群有五個 皆含有過原點的某軸 繞該軸的所有旋轉 另外可以 添加或不添加過軸的各鏡面反射 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射 共四個 最後 若以上兩種反射都無添加 則可以只添加兩者的複合 相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的180 x2218 displaystyle 180 circ 旋轉 一個 添加過軸的各鏡面反射的群 不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射 稱為兩種圓柱對稱性 注意若物理實體有無窮旋轉對稱 則亦必關於過軸的鏡面對稱 此七個連續群 稱為極限點群或居里極限群 得名自最早研究此種群的皮埃尔 居里 91 1 93 91 2 93 軸向群可以分成七列無窮序列 其極限給出五個軸向極限群 有兩個重複 而O 3 displaystyle O 3 S O 3 displaystyle SO 3 則不是軸向群的極限 國際記號中 此七個群記為 x221E xA0 x221E 2 xA0 x221E m xA0 x221E m m xA0 x221E m m xA0 x221E x221E xA0 x221E x221E m displaystyle infty infty 2 infty mathrm m infty mathrm mm infty mathrm mm infty infty infty infty mathrm m 次序在下文明確給出 91 3 93 有限等距變換群 编辑 三維空間的對稱中 保持原點不動 等價於保持以原點為球心的球面 關於有限的三維點群 亦可參見球面有限對稱群列表 英语 List of finite spherical symmetry groups 不別共軛之異 三維有限點群只有 7 displaystyle 7 個無窮列 此七類群中 每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉 該些群皆是圓柱面的對稱群 的有限子群 其中圓柱面有限長或無限長是等價的 有時稱為軸向點群 英語 axial point groups 或棱柱點群 英語 prismatic point groups 7 displaystyle 7 個其他點群 每個有至少兩條至少三重的旋轉軸 也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸 因為全部七個都有多條三重旋轉軸 若數出其三重以上的旋轉軸 所有可能組合有 4 displaystyle 4 條三重軸 4 displaystyle 4 條三重軸及3 displaystyle 3 條四重軸 10 displaystyle 10 條三重軸及6 displaystyle 6 條五重軸 根據晶體學限制定理 僅得很少點群與離散平移對稱 英语 translational symmetry 相容 七列軸向點群中 有27 displaystyle 27 個 七個其他點群中 有5 displaystyle 5 個 合共32 displaystyle 32 個 稱為晶體學點群 七類軸向點群 编辑 有七列軸向點群 每列有無窮多個群 各可用正整數n displaystyle n 標示 每列第n displaystyle n 個群 含繞某軸的n displaystyle n 重旋轉 即旋轉360 x2218 n displaystyle 360 circ n 故n 1 displaystyle n 1 對應轉一整圈 即不旋轉 七列軸向點群中 四列無其他旋轉軸 稱循環對稱 英语 Cyclic symmetry in three dimensions 另三列有其他二重旋轉軸 稱二面對稱 英语 dihedral symmetry 該些群可以視為二維點群 英语 point groups in two dimensions 添加軸向坐標和關於軸的反射而成 也與帶群 英语 frieze group 相關 91 4 93 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複n displaystyle n 次 下表列出點群的幾種記號 晶體學的赫爾曼 莫甘記號 分子對稱性的熊夫利記號 英语 Schonflies notation 軌形記號 英语 orbifold notation 考克斯特記號 英语 Coxeter notation 後三者不僅方便讀出群的性質 還與群的階數密切相關 軌形記號同時通用於牆紙群 英语 wallpaper group 與帶群 英语 frieze group 晶體群的n displaystyle n 僅能取1 2 3 4 6 displaystyle 1 2 3 4 6 晶體學限制定理 而若移除該限制 則n displaystyle n 可取任意正整數 七列軸向點群為 赫 莫 熊夫利 英语 Schonflies notation 軌形 英语 orbifold notation 考克斯特 英语 Coxeter notation 帶群 英语 Frieze group 抽象結構 群階 英语 Symmetry number 例子 備註 n displaystyle n 偶 n displaystyle n 奇 圓柱 n displaystyle n C n displaystyle C n n n displaystyle nn n displaystyle n p1 循環群Z n displaystyle Z n n displaystyle n n displaystyle n 重旋轉對稱 2 n x00AF displaystyle overline 2n n x00AF displaystyle overline n S 2 n displaystyle S 2n n x00D7 displaystyle n times 2 n 2 displaystyle 2n 2 p11g Z 2 n displaystyle Z 2n 2 n displaystyle 2n n displaystyle n 重旋轉反射對稱勿與2 n displaystyle 2n 次抽象對稱群混淆 n m displaystyle n mathrm m 2 n x00AF displaystyle overline 2n C n h displaystyle C n mathrm h n x2217 displaystyle n n 2 displaystyle n 2 p11m Z n x00D7 Z 2 displaystyle Z n times Z 2 2 n displaystyle 2n n m m displaystyle n mathrm mm n m displaystyle n mathrm m C n v displaystyle C n mathrm v x2217 n n displaystyle nn n displaystyle n p1m1 二面體群D i h n displaystyle mathrm Dih n 2 n displaystyle 2n 稜錐對稱生物學又稱雙輻射狀對稱 n 22 displaystyle n22 n 2 displaystyle n2 D n displaystyle D n 22 n displaystyle 22n n 2 displaystyle n 2 p211 D i h n displaystyle mathrm Dih n 2 n displaystyle 2n 二面體對稱 英语 Dihedral symmetry in three dimensions 2 n x00AF 2 m displaystyle overline 2n 2 mathrm m n x00AF m displaystyle overline n mathrm m D n d displaystyle D n mathrm d 2 x2217 n displaystyle 2 n 2 n 2 displaystyle 2n 2 p2mg D i h 2 n displaystyle mathrm Dih 2n 4 n displaystyle 4n 反稜柱對稱 n m m m displaystyle n mathrm mmm 2 n x00AF 2 m displaystyle overline 2n 2 mathrm m D n h displaystyle D n mathrm h x2217 22 n displaystyle 22n n 2 displaystyle n 2 p2mm D i h n x00D7 Z 2 displaystyle mathrm Dih n times Z 2 4 n displaystyle 4n 稜柱對稱 對奇數n displaystyle n 有抽象群同構Z 2 n x2245 Z n x00D7 Z 2 displaystyle Z 2n cong Z n times Z 2 及D i h 2 n x2245 D i h n x00D7 Z 2 displaystyle mathrm Dih 2n cong mathrm Dih n times Z 2 群C n displaystyle C n 包括平凡群C 1 displaystyle C 1 及D n displaystyle D n 有手性 其他則無手性 術語水平 horizontal h 與豎直 vertical v 描述反射面的方向 以旋轉軸為豎直 故反射面水平即垂直於與旋轉軸 反射面豎直即包含為旋轉軸 相應下標用字母h和v 最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群Z 2 displaystyle Z 2 但是O 3 displaystyle O 3 的不同子群 即不共軛 C i displaystyle C mathrm i 等同S 2 displaystyle S 2 點反演對稱 C 2 displaystyle C 2 二重旋轉對稱 C s displaystyle C mathrm s 等同C 1 h displaystyle C 1 mathrm h 和C 1 v displaystyle C 1 mathrm v 反射對稱 生物學 英语 Symmetry in biology 又稱兩側對稱 英語 bilateral symmetry 七條圓柱形帶上 印有不同圖樣 使各自的對稱群等於七列軸向群中 取n 6 displaystyle n 6 的情況 第一組單軸循環群中 C n displaystyle C n 的階為n displaystyle n 二維情況同樣適用 是由單一個角度為360 x2218 n displaystyle 360 circ n 的旋轉生成 若向此群加入一個與軸垂直的鏡面 的反射 則生成C n h displaystyle C n mathrm h 階為2 n displaystyle 2n 若不加入與軸垂直的鏡面 但加入n displaystyle n 塊通過軸的鏡面 則得到C n v displaystyle C n mathrm v 階亦為2 n displaystyle 2n 後者是正n displaystyle n 稜錐的對稱群 具C n displaystyle C n 或D n displaystyle D n 的典型物體是螺旋槳 若上述兩種鏡面皆加入 則水平鏡面與豎直鏡面相交得到n displaystyle n 條軸 而鏡射的複合生成繞該些軸的180 x2218 displaystyle 180 circ 旋轉 故群不再單軸 新群的階為4 n displaystyle 4n 記為D n h displaystyle D n mathrm h 其旋轉子群為2 n displaystyle 2n 個元素的二面體群D n displaystyle D n 仍有與主 n displaystyle n 重 旋轉軸垂直的二重旋轉軸 但不再有鏡面 注意 在二維 D n displaystyle D n 包括鏡射 但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到 但在三維 鏡射與翻轉不再相同 群D n displaystyle D n 有翻轉但無鏡射 餘下一類是D n d displaystyle D n mathrm d 或D n v displaystyle D n mathrm v 其有包含主旋轉軸的豎直鏡面 但沒有水平鏡面 取而代之的操作是先水平鏡射 再旋轉180 x2218 n displaystyle 180 circ n D n h displaystyle D n mathrm h 是正n displaystyle n 棱柱和雙稜錐的對稱群 D n d displaystyle D n mathrm d 則是正n displaystyle n 角反棱柱的對稱群 亦是正n displaystyle n 方偏方面體的對稱群 最後 D n displaystyle D n 是稍稍扭過的正n displaystyle n 棱柱的對稱群 D 2 displaystyle D 2 及D 2 h displaystyle D 2 mathrm h 較特殊 因為並無特別的主旋轉軸 三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸 D 2 displaystyle D 2 是下節所有多面體對稱群的子群 而D 2 h displaystyle D 2 mathrm h 則是多面體群T h displaystyle T mathrm h 與O h displaystyle O mathrm h 的子群 D 2 displaystyle D 2 可以作為下列化學品的對稱群 刀豆蛋白A等同四聚體 英语 homotetramer 四個相同具手性配位基 英语 chiral ligand 的四面體形配合物 四個同手性氟氯甲基的四 氟氯甲基 甲烷 D 2 displaystyle D 2 的元素 與利普希茨四元數 英语 Lipschitz quaternion 的可逆元表示的旋轉 有一對二的關係 群S n displaystyle S n 由 先關於水平面作鏡射 再旋轉360 x2218 n displaystyle 360 circ n 生成 對於奇數n displaystyle n 是等於前述兩個操作分開執行 生成的群C n h displaystyle C n mathrm h 階為2 n displaystyle 2n 故不必用到記號S n displaystyle S n 然而 對偶數n displaystyle n 兩個群有差異 且S n displaystyle S n 僅有n displaystyle n 個元素 與D n d displaystyle D n mathrm d 類似 其包含若干瑕旋轉 但不包含對應的旋轉 七列軸向群的元素僅有下列四對重複 C 1 h displaystyle C 1 mathrm h 及C 1 v displaystyle C 1 mathrm v 階數為2 displaystyle 2 由獨一個鏡射生成 又稱C s displaystyle C mathrm s D 1 displaystyle D 1 與C 2 displaystyle C 2 階數為2 displaystyle 2 由獨一個180 x2218 displaystyle 180 circ 旋轉生成 D 1 h displaystyle D 1 mathrm h 與C 2 v displaystyle C 2 mathrm v 階數為4 displaystyle 4 由一個鏡射與鏡面上一條軸的180 x2218 displaystyle 180 circ 旋轉生成 D 1 d displaystyle D 1 mathrm d 與C 2 h displaystyle C 2 mathrm h 階數為4 displaystyle 4 由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的180 x2218 displaystyle 180 circ 旋轉生成 S 2 displaystyle S 2 是由獨一個點反演生成的2 displaystyle 2 階群 又記為C i displaystyle C mathrm i 此處 重複 是指作為O 3 displaystyle O 3 的子群共軛 是強於作為抽象群代數同構的條件 例如 前一種意義下 有三個不同的2 displaystyle 2 階群 但祇有一個2 displaystyle 2 階抽象群 類似 也有S 2 n displaystyle S 2n 與Z 2 n displaystyle Z 2n 抽象同構 群的構造亦可描述如下 C n displaystyle C n 是由獨一個元素生成 生成元亦稱為C n displaystyle C n 是繞軸轉2 x03C0 n displaystyle 2 pi n 群的元素是 E displaystyle E 單位元 C n C n 2 x2026 C n n x2212 1 displaystyle C n C n 2 ldots C n n 1 對應旋轉角0 xA0 2 x03C0 n xA0 4 x03C0 n xA0 x2026 xA0 2 n x2212 1 x03C0 n displaystyle 0 2 pi n 4 pi n ldots 2 n 1 pi n 該軸視為豎直軸 S 2 n displaystyle S 2n 由獨一個元素C 2 n x03C3 h displaystyle C 2n sigma mathrm h 生成 其中 x03C3 h displaystyle sigma mathrm h 是水平面的鏡射 群的元素是C n displaystyle C n 的元素 另加C 2 n x03C3 h xA0 C 2 n 3 x03C3 h xA0 C 2 n 5 x03C3 h xA0 x2026 xA0 C 2 n 2 n x2212 1 x03C3 h displaystyle C 2n sigma mathrm h C 2n 3 sigma mathrm h C 2n 5 sigma mathrm h ldots C 2n 2n 1 sigma mathrm h C n h displaystyle C n mathrm h 由C n displaystyle C n 與反射 x03C3 h displaystyle sigma mathrm h 生成 群的元素是C n displaystyle C n 的元素 另加 x03C3 h xA0 C n x03C3 h xA0 C n 2 x03C3 h xA0 x2026 xA0 C n n x2212 1 x03C3 h displaystyle sigma mathrm h C n sigma mathrm h C n 2 sigma mathrm h ldots C n n 1 sigma mathrm h C n v displaystyle C n mathrm v 由C n displaystyle C n 與豎直鏡面的反射 x03C3 v displaystyle sigma mathrm v 生成 群的元素是C n displaystyle C n 的元素 另加 x03C3 v xA0 C n x03C3 v xA0 C n 2 x03C3 v xA0 x2026 xA0 C n n x2212 1 x03C3 v displaystyle sigma mathrm v C n sigma mathrm v C n 2 sigma mathrm v ldots C n n 1 sigma mathrm v D n displaystyle D n 是由C n displaystyle C n 與繞水平面上某軸180 x2218 displaystyle 180 circ 的旋轉U x03C3 h x03C3 v displaystyle U sigma mathrm h sigma mathrm v 其元素是C n displaystyle C n 的元素 另加U xA0 C n U xA0 C n 2 U xA0 x2026 xA0 C n n x2212 1 U displaystyle U C n U C n 2 U ldots C n n 1 U D n d displaystyle D n mathrm d 由元素C 2 n x03C3 h displaystyle C 2n sigma mathrm h 與 x03C3 v displaystyle sigma mathrm v 生成 元素是C n displaystyle C n 的元素 加上S 2 n displaystyle S 2n 與C n v displaystyle C n mathrm v 的額外元素 再加上C 2 n x03C3 h x03C3 v xA0 C 2 n 3 x03C3 h x03C3 v xA0 C 2 n 5 x03C3 h x03C3 v xA0 x2026 xA0 C 2 n 2 n x2212 1 x03C3 h x03C3 v displaystyle C 2n sigma mathrm h sigma mathrm v C 2n 3 sigma mathrm h sigma mathrm v C 2n 5 sigma mathrm h sigma mathrm v ldots C 2n 2n 1 sigma mathrm h sigma mathrm v D n h displaystyle D n mathrm h 由元素C n xA0 x03C3 h xA0 x03C3 v displaystyle C n sigma mathrm h sigma mathrm v 生成 其元素為C n displaystyle C n 的元素 再加上C n h xA0 C n v xA0 D n displaystyle C n mathrm h C n mathrm v D n 的所有額外元素 取n displaystyle n 趨向 x221E displaystyle infty 的極限 則得到連續軸向群 或無窮階軸向群 赫 莫 熊夫利 英语 Schonflies notation 軌形 英语 orbifold notation 考克斯特 英语 Coxeter notation 是何序列的極限 抽象群 x221E displaystyle infty C x221E displaystyle C infty x221E x221E displaystyle infty infty x221E displaystyle infty C n displaystyle C n Z x221E displaystyle Z infty S O 2 displaystyle SO 2 x221E x00AF xA0 x221E m displaystyle overline infty infty mathrm m C x221E h displaystyle C infty mathrm h x221E x2217 displaystyle infty 2 x221E displaystyle 2 infty C n h xA0 S 2 n displaystyle C n mathrm h S 2n Z 2 x00D7 Z x221E displaystyle Z 2 times Z infty Z 2 x00D7 S O 2 displaystyle Z 2 times SO 2 x221E m displaystyle infty mathrm m C x221E v displaystyle C infty mathrm v x2217 x221E x221E displaystyle infty infty x221E displaystyle infty C n v displaystyle C n mathrm v D i h x221E displaystyle mathrm Dih infty O 2 displaystyle O 2 x221E 2 displaystyle infty 2 D x221E displaystyle D infty 22 x221E displaystyle 22 infty 2 x221E displaystyle 2 infty D n displaystyle D n D i h x221E displaystyle mathrm Dih infty O 2 displaystyle O 2 x221E x00AF m xA0 x221E m m displaystyle overline infty mathrm m infty mathrm mm D x221E h displaystyle D infty mathrm h x2217 22 x221E displaystyle 22 infty 2 x221E displaystyle 2 infty D n h xA0 D n d displaystyle D n mathrm h D n mathrm d Z 2 x00D7 D i h x221E displaystyle Z 2 times mathrm Dih infty Z 2 x00D7 O 2 displaystyle Z 2 times O 2 七個其他點群 编辑 餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱 因為有多於一條旋轉軸的重數大於二 下表中 C n displaystyle C n 表示一條n displaystyle n 重軸 即旋轉角為360 x2218 n displaystyle 360 circ n S n displaystyle S n 則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸 所用記號 首先是字母表示的熊夫利記號 英语 Schonflies notation 然後括號內為軌形記號 英语 orbifold notation 然後為考克斯特記號 英语 Coxeter notation 及圖 最後是赫爾曼 莫甘記號及倘有的簡寫 T xA0 332 displaystyle T 332 3 3 displaystyle 3 3 23 displaystyle 23 階為12 displaystyle 12 手性四面體對稱 英语 tetrahedral symmetry 有四條C 3 displaystyle C 3 軸 是立方體的四條體對角線 也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線 另有三條C 2 displaystyle C 2 軸 是立方體三組對面的中心連線 也是正四面體三組對邊的中點連線 T displaystyle T 同構交錯群A 4 displaystyle A 4 即四個元素的偶排列的群 本群為正四面體的旋轉群 也是T d xA0 T h displaystyle T mathrm d T mathrm h 及以下兩種八面體對稱群的正規子群 本群的12 displaystyle 12 個元素 與赫維茲四元數 英语 Hurwitz quaternion 的24 displaystyle 24 個可逆元 有一對二的關係 而後者又稱為二元四面體群 英语 binary tetrahedral group T d xA0 x2217 332 displaystyle T mathrm d 332 3 3 displaystyle 3 3 4 x00AF 3 m displaystyle overline 4 3 mathrm m 階為24 displaystyle 24 全四面體對稱 本群與T displaystyle T 有相同的旋轉軸 但另有六塊鏡面 每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊 也是正四面體六條稜各自的垂直平分面 每塊鏡面包含一條C 2 displaystyle C 2 軸 兩條C 3 displaystyle C 3 軸 原C 2 displaystyle C 2 軸 加入鏡射後 變成S 4 displaystyle S 4 軸 本群是正四面體的對稱群 T d displaystyle T mathrm d 同構於4 displaystyle 4 個元素的對稱群S 4 displaystyle S 4 因為T d displaystyle T mathrm d 的元素 會將4 displaystyle 4 條C 3 displaystyle C 3 軸重新排列 而元素與此四條軸的排列一一對應 若一件物體繞其中一條三重軸 有C 3 v displaystyle C 3 mathrm v 對稱 則在T d displaystyle T mathrm d 作用下 軌道有四件同樣的物體 T d displaystyle T mathrm d 就對應此四件物體的排列的集合 T d displaystyle T mathrm d 是O h displaystyle O mathrm h 的正規子群 T h xA0 3 x2217 2 displaystyle T mathrm h 3 2 3 4 displaystyle 3 4 2 m 3 x00AF xA0 m 3 x00AF displaystyle 2 mathrm m overline 3 mathrm m overline 3 階為24 displaystyle 24 五角十二面體對稱 排球的縫線有T h displaystyle T mathrm h 立方五角十二面體 本群與T displaystyle T 的旋轉軸相同 另有與立方體的面平行的鏡面 四條C 3 displaystyle C 3 軸變成S 6 displaystyle S 6 軸 並有關於中心的反演對稱 T h displaystyle T mathrm h 同構於A 4 x00D7 Z 2 displaystyle A 4 times Z 2 因為T displaystyle T 與C i displaystyle C mathrm i 皆是正規子群 而與對稱群S 4 displaystyle S 4 不同構 若在立方體的每個面上 各畫一條線段 將該面分成兩個全等的長方形 且使得新增的線段不會相交於稜上 則所得的圖形的對稱群為T h displaystyle T mathrm h 該些對稱是 立面體四條體對角線的偶排列 及該等偶排列與中心反演的複合 本群亦是五角十二面體的對稱群 五角十二面體與前述的 面經分割的 立方體類似 但其中每個長方形換成有四邊等長 具一條對稱軸的五角形 而五角形餘下一條不同長度的邊 對應立方體的面上新增的線段 換言之 可以想像立方體的面在分割線隆起 並在該處變窄 即分割線變短 本群為全二十面體對稱群的子群 但不正規 且是作為等距變換群的子群 而不僅是抽象子群 全二十面體對稱群有十條三重軸 而本群有其中四條 本群亦為O h displaystyle O mathrm h 的正規子群 雖然記作T h displaystyle T mathrm h 本群並非任何四面體 英語 Tetrahedron 的對稱群 O xA0 432 displaystyle O 432 4 3 displaystyle 4 3 432 displaystyle 432 階為24 displaystyle 24 手性八面體對稱 英语 octahedral symmetry 本群與T displaystyle T 類似 但各C 2 displaystyle C 2 軸現改成C 4 displaystyle C 4 軸 並有額外六條C 2 displaystyle C 2 軸 是過正方體中心與 六對 稜中點的直線 本群與S 4 displaystyle S 4 同構 因為其元素與四條三重軸的24 displaystyle 24 個排列一一對應 與T displaystyle T 類似 若物體繞某條三重軸有D 3 displaystyle D 3 對稱 則在O displaystyle O 作用下 軌道有四件同樣的物體 而O displaystyle O 的元素也一一對應此四件物體的排列 本群是立方體與正八面體的旋轉群 若用四元數表示旋轉 則O displaystyle O 對應24 displaystyle 24 個赫維茲四元數 英语 Hurwitz quaternion 的可逆元及範數平方為2 displaystyle 2 的24 displaystyle 24 個利普希茨四元數 英语 Lipschitz quaternion 各除以2 displaystyle sqrt 2 與T displaystyle T 類似 此為一對二的關係 O h xA0 x2217 432 displaystyle O mathrm h 432 4 3 displaystyle 4 3 4 m 3 x00AF 2 m xA0 m 3 x00AF m displaystyle 4 mathrm m overline 3 2 mathrm m mathrm m overline 3 mathrm m 階為48 displaystyle 48 全八面體對稱 本群與O displaystyle O 有同樣的旋轉軸 但也有鏡射 有齊T d displaystyle T mathrm d 與T h displaystyle T mathrm h 的所有鏡面 本群同構於S 4 x00D7 Z 2 displaystyle S 4 times Z 2 因為O displaystyle O 與C i displaystyle C mathrm i 皆為正規子群 且是立方體與正八面體的對稱群 見八面體對稱 英语 octahedral symmetry I 532 displaystyle I 532 5 3 displaystyle 5 3 532 displaystyle 532 階為60 displaystyle 60 手性二十面體對稱 英语 icosahedral symmetry 本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群 亦是全正二十面體對稱群I h displaystyle I mathrm h 的指標 英语 index of a subgroup 2 displaystyle 2 正規子群 本群的子群中 有十個D 3 displaystyle D 3 與六個D 5 displaystyle D 5 即稜柱或反稜柱的旋轉群 本群也包含五個T displaystyle T 子群 見五複合正四面體 抽象而言 I displaystyle I 同構於5 displaystyle 5 次交錯群A 5 displaystyle A 5 因為其元素作用在五個T displaystyle T 子群上 與其偶排列一一對應 等價地 可以考慮I displaystyle I 對前述五複合正四面體的五個單體的作用 以四元數表示旋轉 則I displaystyle I 對應120 displaystyle 120 個二十數 英语 icosian 可逆元 與先前一樣 此為一對二的關係 I h xA0 x2217 532 displaystyle I mathrm h 532 5 3 displaystyle 5 3 53 x00AF 2 m xA0 53 x00AF m displaystyle overline 53 2 mathrm m overline 53 mathrm m 階為120 displaystyle 120 全二十面體對稱 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群 I h displaystyle I mathrm h 與抽象群A 5 x00D7 Z 2 displaystyle A 5 times Z 2 同構 因為I displaystyle I 與C i displaystyle C mathrm i 皆是正規子群 本群的子群中 有十個D 3 d displaystyle D 3 mathrm d 六個D 5 d displaystyle D 5 mathrm d 反稜柱的對稱 五個T h displaystyle T mathrm h 相關的連續群有 旋轉群S O 3 displaystyle SO 3 即所有旋轉的群 亦記作 x221E x221E displaystyle infty infty 或K displaystyle K 正交群O 3 displaystyle O 3 所有旋轉和鏡射生成的群 亦記作 x221E x221E m displaystyle infty infty mathrm m 或K h displaystyle K mathrm h 如無窮等距變換群一節所言 任何物理實體 若有K displaystyle K 對稱性 則必有K h displaystyle K mathrm h 對稱性 軌形記號與階 编辑 若已知群的軌形記號 則可計算其階數 等於2 displaystyle 2 除以軌形 英语 orbifold 的歐拉示性數 軌形的歐拉示性數是將2 displaystyle 2 減去軌形記號中 各符號特徵數的總和 無 x2217 displaystyle 或在 x2217 displaystyle 之前的n displaystyle n 值為 n x2212 1 n displaystyle n 1 n 在 x2217 displaystyle 之後的n displaystyle n 值為 n x2212 1 2 n displaystyle n 1 2n x2217 displaystyle 與 x00D7 displaystyle times 計為1 displaystyle 1 此公式同樣適用於壁紙群 英语 wallpaper group 與帶群 英语 frieze group 對該等群 特徵數之和為2 displaystyle 2 所以階數是無窮大 亦見壁紙群 英语 wallpaper group 條目 反射考克斯特群 编辑 三維考克斯特群的基本域 A 3 xA0 3 3 displaystyle A 3 3 3 B 3 xA0 4 3 displaystyle B 3 4 3 H 3 xA0 5 3 displaystyle H 3 5 3 6 displaystyle 6 塊鏡 3 6 displaystyle 3 6 塊鏡 15 displaystyle 15 塊鏡 2 A 1 xA0 1 2 displaystyle 2A 1 1 2 3 A 1 xA0 2 2 displaystyle 3A 1 2 2 A 1 A 2 xA0 2 3 displaystyle A 1 A 2 2 3 2 displaystyle 2 塊鏡 3 displaystyle 3 塊鏡 4 displaystyle 4 塊鏡 A 1 xA0 1 displaystyle A 1 1 2 A 1 xA0 2 displaystyle 2A 1 2 A 2 xA0 3 displaystyle A 2 3 1 displaystyle 1 塊鏡 2 displaystyle 2 塊鏡 3 displaystyle 3 塊鏡 三維反射點群又稱為考克斯特群 能以考克斯特 鄧肯圖 英语 Coxeter Dynkin diagram 表示 是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群 該些鏡面將球面分割成球面三角形區域 若考克斯特群能以少於三個鏡射生成 則該球面三角形退化 變成球面二角形 英语 lune mathematics 或半球面 在考克斯特記號 英语 Coxeter notation 該些群是正四面體對稱 英语 tetrahedral symmetry 3 3 displaystyle 3 3 正八面體對稱 英语 octahedral symmetry 4 3 displaystyle 4 3 正二十面體對稱 英语 icosahedral symmetry 5 3 displaystyle 5 3 二面體對稱 英语 Dihedral symmetry in three dimensions p 2 displaystyle p 2 不可約群的鏡面數是n h 2 displaystyle nh 2 其中h displaystyle h 是群的考克斯特數 英语 Coxeter number 而n displaystyle n 是反射方向的秩 維數 等於符號的下標 91 5 93 熊夫利記號 英语 Schonflies notation 考克斯特 鄧肯圖標籤 考克斯特記號 英语 Coxeter notation 群階 考克斯特數 英语 Coxeter number h displaystyle h 鏡數 m displaystyle m 多面體群 英语 Polyhedral group T d displaystyle T mathrm d A 3 displaystyle A 3 3 3 displaystyle 3 3 24 displaystyle 24 4 displaystyle 4 6 displaystyle 6 O h displaystyle O mathrm h B 3 displaystyle B 3 4 3 displaystyle 4 3 48 displaystyle 48 6 displaystyle 6 3 6 displaystyle 3 6 I h displaystyle I mathrm h H 3 displaystyle H 3 5 3 displaystyle 5 3 120 displaystyle 120 10 displaystyle 10 15 displaystyle 15 二面體群 英语 Dihedral symmetry in three dimensions D 1 h displaystyle D 1 mathrm h 2 A 1 displaystyle 2A 1 1 2 displaystyle 1 2 4 displaystyle 4, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。
