證明 是无理数
证:
假设 是有理数,并且令 , 是最简分数。
两边平方,得到 。将此式改写为 ,可见 为偶数。
因为平方运算保持奇偶性,所以 只能为偶数。设 ,其中 为整数。
代入可得 。同理可得 亦为偶数。
这与 为最简分数的假设矛盾, 所以 是有理数的假设不成立。
證明 是无理数
證:
假設 是有理數,兩邊平方得到
其中因為 是有理數,所以 也是有理數。
透過證明 為無理數的方法,其中 為一非完全平方数
可以證明 是無理數
同樣也推出 是無理數
但這又和 是有理數互相矛盾
所以 是一無理數
證明 是无理数
證:
同樣,假設 是有理數,兩邊平方後得到
,
於是 是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於 是有理數,所以
透過證明形如 的數是無理數的方法,得出 也是一無理數
但這結果明顯和 與 皆為有理數出現矛盾,故 為無理數
另一種證明:
同樣假設 是有理數,
,兩邊平方:
透過證明形如 的數是無理數的方法,得出 是一無理數
也是矛盾的。
證明 是无理数
證:
,兩邊平方得到:
,得到 為一有理數
,兩邊繼續平方:
由於 , 皆為有理數
設 , 亦為有理數
透過證明形如 的數是無理數的方法,可知 為無理數
這和 是有理數衝突
所以得證 為一無理數