在兩個拓撲群 G 和 H 之間的同態就是連續群同態G → H。拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚。這比單純要求連續群同構要更強，因其逆函數必須也是連續。有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子。實際上，任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是（另一個）拓撲群。底層的群是一樣的（同構），但兩個拓撲群並非同構。
Pontryagin, Lev S. Topological Groups. trans. from Russian by Arlen Brown and P.S.V. Naidu 3rd ed. New York: Gordon and Breach Science Publishers. 1986. ISBN 978-2-88124-133-8. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
四月 17, 2023
拓扑群, 在數學中, 拓撲群是群, 和與之一起的, 上的拓撲, 使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的, 拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念, 群论群基本概念子群, 正规子群, 商群, 群同态, 直积, 直和单群, 有限群, 无限群, 群概形, 循环群, 冪零群, 可解群, 圈積离散群有限单群分类, 循环群, 交错群, 李型群散在群马蒂厄群, 24康威群, 扬科群, 费歇尔群, 24子怪兽群, b怪兽群, m其他有限群对称群, sn二面体群, dn无限群整数, z模群, 连续群李群一般线性群, 特. 在數學中 拓撲群是群 G 和與之一起的 G 上的拓撲 使得這個群的二元運算和這個群的取逆函數是連續的 拓撲群允許依據連續群作用來研究連續對稱的概念 群论群基本概念子群 正规子群 商群 群同态 像 半 直积 直和单群 有限群 无限群 拓扑群 群概形 循环群 冪零群 可解群 圈積离散群有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群散在群马蒂厄群 M11 12 M22 24康威群 Co1 3 扬科群 J1 4 费歇尔群 F22 24子怪兽群 B怪兽群 M其他有限群对称群 Sn二面体群 Dn无限群整数 Z模群 PSL 2 Z 和 SL 2 Z 连续群李群一般线性群 GL n 特殊线性群 SL n 正交群 O n 特殊正交群 SO n 酉群 U n 特殊酉群 SU n 辛群 Sp n G2 F4 E6 E7 E8勞侖茲群庞加莱群无限维群共形群微分同胚群 环路群 量子群 O SU Sp 代数群椭圆曲线线性代数群 英语 Linear algebraic group 阿贝尔簇 英语 Abelian variety 查论编 目录 1 形式定義 1 1 同態 2 例子 3 性质 4 和数学其他领域的关系 5 参看 6 参考形式定義 编辑拓撲群 G 是拓撲空間和群使得群運算 G G G x y x y displaystyle G times G to G x y mapsto xy 和 G G x x 1 displaystyle G to G x mapsto x 1 是連續函數 這里的 G G 被看作使用乘積拓撲得到拓撲空間 儘管我們這里沒有做其他要求 很多作者要求在 G 上的拓撲是豪斯多夫空間 下面會討論其理由和一些等價條件 最后 這不是個嚴重的限制 很多拓撲群都可以用規範方式變成豪斯多夫空間 使用範疇論的語言 拓撲群可以簡明的定義為在拓撲空間範疇內的群對象 如同普通的群是集合範疇的群對象一樣 同態 编辑 在兩個拓撲群 G 和 H 之間的同態就是連續群同態 G H 拓撲群的同構則要求同時是群同構及對應拓撲空間的同胚 這比單純要求連續群同構要更強 因其逆函數必須也是連續 有作為普通群是同構的但作為拓撲群卻不同構的例子 實際上 任何非離散的拓撲群在用離散拓撲來考慮的時候也是 另一個 拓撲群 底層的群是一樣的 同構 但兩個拓撲群並非同構 拓撲群和它們的同態一起形成一個範疇 例子 编辑每个群可以平凡地变成一个拓扑群 这是通过给它一个离散拓扑达成地 这样的群称为离散群 在这个意义下 拓扑群的理论包含了普通群的理论 实数 R 以及加法操作和它的普通拓扑构成一个拓扑群 更一般的 欧几里得空间Rn连同加法和标准的拓扑构成拓扑群 更一般的 所有拓扑向量空间 譬如巴拿赫空间和希尔伯特空间 的加法群是拓扑群 上面的例子都是阿贝尔群的例子 非交换群的例子有各种李群 是拓扑群也是流形 例如 一般线性群GL n R 由所有可逆n n实系数矩阵组成 可以视为拓扑群 其拓扑定义为将GL n R 作为欧几里得空间Rn n的子空间得到的子空間拓撲 所有李群是局部紧的 不是李群的拓扑群的一个例子是有理数Q其拓扑从实数继承 这是一个可数空间而它不是离散拓扑 对于一个非交换的例子 可以考虑R3的旋转群由绕不同轴作2p的无理数倍的两个旋转所生成的子群 在每个带乘法单位元的巴拿赫代数中 可逆元素的集合构成一个乘法下的拓扑群 性质 编辑拓扑群的代数和拓扑结构以非平凡的方式互相影响 例如 在任何拓扑群中单位分支 也就是包含单位的连通分支 是一个闭正规子群 拓扑群G上的逆运算给出了一个从G到其自身的同胚 同样 若a是G的任意元素 则a的左乘和右乘产生G G的一个同胚 每个拓扑群可以两种方式视为一个一致空间 左一致性 将所有左乘变成一个一致连续映射 而 右一致性 将所有右乘变为一致连续映射 若G非交换 则这两个一致性并不相同 这个一致性结构使得在拓扑群上讨论完备性 一致连续 和一致收敛成为可能 作为一个一致空间 每个拓扑群是一个完全正则空间 因而 若一个拓扑群是T0 也就是柯爾莫果洛夫空間 则它也是T2 也即豪斯多夫空间 两个拓扑群之间的最自然的同态概念是一个连续的群同态 拓扑群 和作为态射的连续群同态一起 构成一个範畴 每个拓扑群的子群本身也是一个拓扑群 只要取子空間拓扑便可 若H是G的一个子群 所有左或右陪集G H是一个拓扑空间 只要取商拓扑便可 G H上使得自然投影q G G H连续的最细拓扑 可以证明商映射q G G H总是开映射 若H是一个G的正规子群 则因子群 G H成为一个拓扑群 而从普通群理论来的同构基本定理在这个範围中也是成立的 但是 若H不是G的拓扑下的闭集 则G H不是T0的 即使G是 因此很自然可以要求限制到只考虑T0拓扑群的範畴 并且限制定义中的正规到正规且闭 若H是G的子群 则H的闭包也是一个子群 同样 若H是一个正规子群 则H的闭包也是正规的 和数学其他领域的关系 编辑对于调和分析有特殊重要性的是局部紧拓扑群 因为它们承认一个自然的测度和积分的概念 由哈尔测度给出 在很多方面 局部紧拓扑群是可数群的一个推广 而紧拓扑群可以视为有限群的一个推广 群表示理论对于有限群和紧拓扑群几乎是完全一样的 参看 编辑李群 代数群 拓扑环参考 编辑Husain Taqdir Introduction to Topological Groups Philadelphia W B Saunders Company 1966 Pontryagin Lev S Topological Groups trans from Russian by Arlen Brown and P S V Naidu 3rd ed New York Gordon and Breach Science Publishers 1986 ISBN 978 2 88124 133 8 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 拓扑群 amp oldid 67966488, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
