一致连续

一致連續又稱均勻連續，（英語：uniformly continuous），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 f 我們只要在定義域中讓任意兩點 x 跟 y 越來越接近，我們就可以讓 f(x) 跟 f(y) 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：f(x) 跟 f(y) 之間的距離並不依賴 x 跟 y 的位置選擇。 一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

设 ${\displaystyle (X,d_{1})}$  和 ${\displaystyle (Y,d_{2})}$  皆是度量空间，我們說函数 ${\displaystyle f:X\to Y}$  一致连续，這代表對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ，使得定義域中任意兩點 ${\displaystyle x,y}$  只要 ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$ ，就有 ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon }$ 。

当 ${\displaystyle X}$  和${\displaystyle Y}$  都是實數的子集合，${\displaystyle d_{1}}$  和 ${\displaystyle d_{2}}$  為絕對值 ${\displaystyle |\cdot |}$  时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ ，使得对任意兩點 ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ，都有 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ ，则稱函數 ${\displaystyle f}$  在 ${\displaystyle X}$ 上一致连续。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 ${\displaystyle \delta }$  的選擇只依賴 ${\displaystyle \epsilon }$  這變數，而不依賴定義域上點的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数${\displaystyle f:X\to Y}$ ，${\displaystyle (X,d_{1})}$ 为紧致度量空间，${\displaystyle (Y,d_{2})}$ 为度量空间。

假设${\displaystyle f}$ 不是一致连续的，則存在一個${\displaystyle \epsilon >0}$ ，对于任意${\displaystyle n}$ 都存在${\displaystyle x_{n},y_{n}}$ 满足条件${\displaystyle d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}}$ 并且${\displaystyle d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon }$ 。

因为${\displaystyle X}$ 为紧致度量空间，${\displaystyle X}$ 是序列紧致的，所以存在一个${\displaystyle (x_{n})}$ 的收敛子序列${\displaystyle (x_{k_{n}})}$ ，设其收敛到${\displaystyle x}$ 。

${\displaystyle d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0}$ ，所以${\displaystyle (y_{k_{n}})\to x}$ 。

因为${\displaystyle f}$ 连续，${\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0}$ ，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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