Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156(1918)
Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10(Paperback); ISBN 0-387-19374-X
九月 27, 2023
一致收斂, 均勻收斂, 或稱均匀收敛, 英語, uniform, convergence, 是數學中關於函數序列收斂的一種定義, 其概念大致可想成, 若函數序列, 至函數, 代表對所有定義域中的點, 收斂至, 會有, 大致, 相同的收斂速度, 由於它對收斂要求較逐點收斂更強, 故能保持一些重要的分析性質, 例如連續性, 黎曼可積性, 目录, 定義, 例子, 性質, 注释, 文獻定義, 编辑當函數序列中的函數的對應域是, displaystyle, mathbb, nbsp, displaystyle, mathbb. 均勻收斂 或稱均匀收敛 英語 Uniform convergence 是數學中關於函數序列收斂的一種定義 其概念大致可想成 若函數序列 fn 一致收斂至函數 f 代表對所有定義域中的點 x fn x 收斂至 f x 會有 大致 相同的收斂速度 註 1 由於它對收斂要求較逐點收斂更強 故能保持一些重要的分析性質 例如連續性 黎曼可積性 目录 1 定義 2 例子 3 性質 4 注释 5 文獻定義 编辑當函數序列中的函數的對應域是 R displaystyle mathbb R nbsp 或 C displaystyle mathbb C nbsp 時 此時均勻收歛的定義為 讓 f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp 是定義在 S displaystyle S nbsp 上 對應域為 R displaystyle mathbb R nbsp 或 C displaystyle mathbb C nbsp 的一組函數序列 若序列 f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp 均勻收歛至函數 f displaystyle f nbsp 在集合 S displaystyle S nbsp 上 即表示對所有 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在 N N displaystyle N in mathbb N nbsp 使得當所有 n N displaystyle n geq N nbsp 且 x S displaystyle x in S nbsp 時有 f n x f x lt ϵ displaystyle f n x f x lt epsilon nbsp 可將這定義推廣到一般的度量空間 設 S displaystyle S nbsp 為一集合 M d displaystyle M d nbsp 為度量空間 若對一組函數序列 f n S M displaystyle f n S to M nbsp 存在函數 f S M displaystyle f S to M nbsp 滿足 對所有 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在 N N displaystyle N in mathbb N nbsp 使得當所有 n N displaystyle n geq N nbsp 且 x S displaystyle x in S nbsp 時有 d f n x f x lt ϵ displaystyle d f n x f x lt epsilon nbsp 則稱序列 f n displaystyle f n nbsp 一致收斂到 f displaystyle f nbsp 注意到 一致收敛和逐点收敛定义的区别在于 在一致收敛中 N displaystyle N nbsp 的選取仅与 ϵ displaystyle epsilon nbsp 相关 而在逐点收敛中 N displaystyle N nbsp 还多了与點 x displaystyle x nbsp 相关 所以一致收敛必定逐点收敛 而反之则不然 例子 编辑 nbsp 在 1 1 上一致收斂到絕對值函數的多項式序列例子一 對任何 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 上的連續函數f displaystyle f nbsp 考慮多項式序列 P n x k 0 n f k n n k x k 1 x n k displaystyle P n x sum k 0 n f left frac k n right n choose k x k 1 x n k nbsp 可證明P n displaystyle P n nbsp 在區間 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 上一致收斂到函數f displaystyle f nbsp 其中的b k n x n k x k 1 x n k displaystyle b k n x n choose k x k 1 x n k nbsp 稱為伯恩斯坦多項式 透過坐标的平移與縮放 可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數 這是斯通 维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明 nbsp 逐點收斂而非一致收斂的例子例子二 考慮區間 0 p displaystyle 0 pi nbsp 上的函數序列f n x sin n x displaystyle f n x sin n x nbsp 它逐點收斂到函數 f x 0 x p 2 1 x p 2 displaystyle f x begin cases 0 amp x neq pi 2 1 amp x pi 2 end cases nbsp 然而這並非一致收斂 直觀地想像 當x displaystyle x nbsp 愈靠近p 2 displaystyle pi 2 nbsp 使f n x displaystyle f n x nbsp 接近0 displaystyle 0 nbsp 所需的n displaystyle n nbsp 便愈大 可以依此想法循定義直接證明 也可以利用下節關於連續的性質證明 因為在此例中f n x displaystyle f n x nbsp 皆連續 而f x displaystyle f x nbsp 不連續 性質 编辑讓 f n displaystyle f n nbsp 為一組函數序列 對應域為 R displaystyle mathbb R nbsp 或 C displaystyle mathbb C nbsp 此時有下述性質 連續性 若函數序列 f n displaystyle f n nbsp 均勻收歛至函數 f displaystyle f nbsp 則有 假設函數序列的定義域是闭包 closure 集合 I displaystyle I nbsp 且 a displaystyle a nbsp 是 I displaystyle I nbsp 的中的一點 若每個 f n displaystyle f n nbsp 都在 a displaystyle a nbsp 點連續 則 f displaystyle f nbsp 也在 a displaystyle a nbsp 點連續 若对集合 I displaystyle I nbsp 的每個緊緻子集 J displaystyle J nbsp 每個 f n displaystyle f n nbsp 都在 J displaystyle J nbsp 上連續 則 f displaystyle f nbsp 在 I displaystyle I nbsp 上連續 與積分的交換 令 f n displaystyle f n nbsp 為定義在緊緻區間 I displaystyle I nbsp 的函數序列 且序列 f n displaystyle f n nbsp 均勻收歛至函數 f displaystyle f nbsp 若每個 f n displaystyle f n nbsp 都是黎曼可積 則 f displaystyle f nbsp 也是黎曼可積 而且lim n S f n d x S f d x displaystyle lim n to infty int S f n mathrm d x int S f mathrm d x quad quad nbsp 註 2 與微分的交換 可微函數序列 f n displaystyle f n nbsp 均勻收歛至函數 f displaystyle f nbsp 並不能保證 f displaystyle f nbsp 是可微的 還需要對該函數序列的微分 f n displaystyle f n nbsp 做些限制 請參看以下定理 讓 f n displaystyle f n nbsp 為定義在閉區間 a b displaystyle a b nbsp 的可微函數序列 且存在一點 x 0 a b displaystyle x 0 in a b nbsp 使得極限 lim n f n x 0 displaystyle lim n to infty f n x 0 nbsp 存在 且有限 若序列的微分 f n displaystyle f n nbsp 在區間 a b displaystyle a b nbsp 一致收斂到函數 g displaystyle g nbsp 則序列 f n displaystyle f n nbsp 均勻收歛至函數 f displaystyle f nbsp 且 f displaystyle f nbsp 亦是可微函數 且有 f g lim n f n displaystyle f g lim n to infty f n nbsp 注释 编辑 所以才會用 均勻 或 一致 來形容這種模式的收歛 在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果 文獻 编辑Konrad Knopp Theory and Application of Infinite Series Blackie and Son London 1954 reprinted by Dover Publications ISBN 0 486 66165 2 G H Hardy Sir George Stokes and the concept of uniform convergence Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19 pp 148 156 1918 Bourbaki Elements of Mathematics General Topology Chapters 5 10 Paperback ISBN 0 387 19374 X 取自 https zh wikipedia org w index php title 一致收斂 amp oldid 76673507, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,