完备性

在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性（英語：Completeness），即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化或哥德尔不完备定理。

• 一个度量空间或一致空间被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛，请参看完备空间。

• 在泛函分析中，一个拓扑向量空间${\displaystyle V}$的子集${\displaystyle S}$被称为是完全的，如果${\displaystyle S}$的扩张在${\displaystyle V}$中是稠密的。如果${\displaystyle V}$是可分空间，那么也可以导出${\displaystyle V}$中的任何向量都可以被写成${\displaystyle S}$中元素的（有限或无限的）线性组合。更特殊地，在希尔伯特空间中（或者略一般地，在线性内积空间（inner product space）中），一组标准正交基就是一个完全而且正交的集合。

• 一个测度空间是完全的，如果它的任何零测集（null set）的任何子集都是可测的。请查看完全测度空间（complete measure）。

• 在统计学中，一个统计量被称完全的，如果不存在由其构造的非平凡的0的无偏估计量（estimator）。

• 在图论中，一个图被称为完全的，如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。

• 在范畴论，一个范畴${\displaystyle C}$被称为完备的，如果任何一个从小范畴到${\displaystyle C}$的函子都有极限。而它被称为上完备的，如果任何函子都有一个上极限。请查看范畴论中的极限定义。

• 在序理论和相关的领域中，如格和畴（域理论）中，全序性（completeness）一般是指对于偏序集存在某个特定的上确界或下确界。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数，完全格和完全偏序。并且一个有序域被称为完全的，如果它的任何在这个域中有上界的非空子集，都有一个在这个域中的最小上界；注意这个定义与序理论中的完全有界性（bounded complete）有细小的差别。在同构的意义下，有且仅有一个完全有序域，即实数。

• 在数理逻辑，一个理论被称为完备的，如果对于其語言中的任何一个句子${\displaystyle S}$，这个理论包括且仅包括${\displaystyle S}$或${\displaystyle \neg S}$。一个系统是相容的，如果不存在同时${\displaystyle P}$和非${\displaystyle P}$的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。

• 在证明论和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义）是完备的，如果任何由一组前提${\displaystyle Q}$根据语义导出的陈述${\displaystyle P}$，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地导出。形式地说，${\displaystyle G\models P}$导出${\displaystyle G\vdash P}$ 。一阶逻辑在这个意义下是完备的。特别地，所有逻辑的重言式都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）。

• 在计算复杂度理论中，一个问题${\displaystyle P}$对于一个复杂度类${\displaystyle C}$，在某个给定类型的归约下是完全的（完備 (複雜度)），如果${\displaystyle P}$在${\displaystyle C}$中，并且${\displaystyle C}$中的任何问题利用该归约都可以化归到${\displaystyle P}$。例如，NP完全问题在NP类和多项式时间和多对一归约的意义下是完全的。