零测集

在数学分析中，零测集（Null set）是一个可以被可数个测度为任意小的开区间的并集覆盖的集合。

定义

假设A是实数集R的子集，满足

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,}$ 

其中Un表示区间，|U|是区间U的长度，则A是零测集。

性质

空集总是零测集。

可数个零测集的并集是零测集。

零测集的任何一个可测子集是零测集。

应用

零测集在勒贝格积分的定义中起到了关键作用。如果函数f和函数g除一个零测集以外处处相等，则f可积当且仅当g可积，并且二者的积分相等。这使Lp空间定义为除零测集外均为同一类函数的集合。