换位子群, 在抽象代数中, 一个群的或导群, 是指由这个群的所有交换子所生成的子群, 记作, 或g, 每个群都对应着一个确定的交换子群, 在一个群g的所有正规子群中, 交换子群g, 是使得g对它的商群为交换群的最小子群, 在某种意义上, 交换子群提供了群g的可交换程度, 因为从交换子的定义, displaystyle, 如果x与y交换, 那么, displaystyle, 一个群内可交换的元素越多, 交换子就越少, 交换子群也就越小, 可交换群的交换子群为平凡群, displaystyle, 目录, 定义, 性质,. 在抽象代数中 一个群的换位子群或导群 是指由这个群的所有交换子所生成的子群 记作 G G G 或G 1 每个群都对应着一个确定的交换子群 在一个群G的所有正规子群中 交换子群G 是使得G对它的商群为交换群的最小子群 在某种意义上 交换子群提供了群G的可交换程度 因为从交换子的定义 x y x y x 1 y 1 displaystyle x y xyx 1 y 1 如果x与y交换 那么 x y e displaystyle x y e 一个群内可交换的元素越多 交换子就越少 交换子群也就越小 可交换群的交换子群为平凡群 e displaystyle e 目录 1 定义 1 1 性质 2 交换子群的例子 3 参见定义 编辑给定一个群G G的交换子群或导群 G G G 或G 1 是G的所有交换子所生成的子群 G G g 1 h 1 g h g h G displaystyle G G langle g 1 h 1 gh g h in G rangle nbsp 类似地可以定义高阶的导群 G 0 G displaystyle G 0 G nbsp G n G n 1 G n 1 n N displaystyle G n G n 1 G n 1 quad n in mathbf N nbsp 可以证明 如果存在自然数 n 使得 G n e displaystyle G n e nbsp 那么G是可解群 商群G G G displaystyle G G G nbsp 是一个阿贝尔群 叫做G的阿贝尔化子群 通常记作Gab G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群 G G G displaystyle G G G nbsp 的群叫做完美群 这是与阿贝尔群相对的概念 完美群的阿贝尔化子群是单位群 e 性质 编辑 G displaystyle G prime nbsp 是G displaystyle G nbsp 的正规子群 G对于自同构稳定 ϕ A u t G ϕ G G displaystyle forall phi in Aut G phi G prime G prime nbsp 如果H是G的子群 那么H G displaystyle H prime subseteq G prime nbsp p G 1 G 2 displaystyle pi G 1 to G 2 nbsp 是一个满同态 那么p G 1 G 2 displaystyle pi G 1 prime G 2 prime nbsp 如果H是G的正规子群 那么G H displaystyle G H nbsp 是交换群 当且仅当G H displaystyle G prime subseteq H nbsp 证明 p H G G H a H a displaystyle pi H G to G H a mapsto Ha nbsp 是一个满同态 所以 G H displaystyle G H nbsp 是交换群 e G H p H G displaystyle quad Leftrightarrow left e right G H prime pi H G prime nbsp G H e H displaystyle Leftrightarrow G prime subseteq He H nbsp dd G G displaystyle G prime subseteq G prime nbsp 所以G a b G G displaystyle G ab G G prime nbsp 可交换 交换子群的例子 编辑4次交替群A 4 displaystyle A 4 nbsp 的交换子群是克莱因四元群V 4 displaystyle V 4 nbsp n次对称群S n displaystyle S n nbsp 的交换子群是n次交替群A n displaystyle A n nbsp 四元群Q 1 1 i i j j k k 的交换子群是 1 1 参见 编辑群 交换子 正规子群 可解群 伽罗瓦理论 取自 https zh wikipedia org w index php title 换位子群 amp oldid 76333430, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,