儘管有限生成群的所有商群是有限生成群為真(簡單的在商群中選取生成元的像),有限生成群的子群不必須是有限生成群,例如,設 G 是有兩個生成元 x 和 y 的自由群,(它明顯是有限生成群,因為 G = <{x,y}>),并設 S 是由形如 ynxy−n 的所有 G 的元素構成子集,這里的 n 是自然數。因為 <S> 明顯同構於有可數個生成元的自由群,它不能被有限生成。但是,所有有限生成阿貝爾群的子群完全是有限生成群。更進一步: 所有有限生成群的類在群擴張下閉合。要看出這個結論,選取(有限生成)正規子群和商群的生成集合: 正規子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了這個群。
自由群编辑
由集合 S 生成的最一般的群是 S自由生成的群。所有 S 生成的群同構於這個群的因子群,這個特征實用於一個群的展示的表達中。
Frattini子群编辑
一個有趣的伙伴主題是非生成元。群 G 的元素 x 是非生成元,如果生成 G 的包含 x 的所有集合 S 在把 x 從 S 中去掉的時候仍生成 G。在帶有加法的整數集中,唯一的非生成元是 0。所有的非生成元的集合形成了 G 的子群,叫做 Frattini子群。
群的生成集合, 此條目翻譯品質不佳, 2021年5月8日, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 在抽象代數中, displaystyle, 的生成集合是子集, 使得所有, 的所有. 此條目翻譯品質不佳 2021年5月8日 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 在抽象代數中 群 G displaystyle G 的生成集合是子集 S 使得所有 G 的所有元素都可以表達為 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積 更一般的說 如果 S 是群 G 的子集 則 S displaystyle S 所生成的子群 lt S gt 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子群 這意味著它是包含 S 元素的所有子群的交集 等價的說 lt S gt 是 G 中所有可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限乘積表達的元素的子群 如果 G lt S gt 則我們稱 S 生成 G S 中的元素叫做生成元或群生成元 如果 S 是空集 則 lt S gt 是平凡群 e 因為我們認為空乘積是單位元 在 S 中只有一個單一元素 x 的時候 lt S gt 通常寫為 lt x gt 在這種情況下 lt x gt 是 x 的冪的循環子群 我們稱這個循環群是用 x 生成的 與聲稱一個元素 x 生成一個群等價 還可以聲稱它有階 G 或者說 lt x gt 等于整個群 G 目录 1 有限生成群 2 自由群 3 Frattini子群 4 例子 5 參見 6 引用 7 外部連結有限生成群 编辑如果 S 是有限的 則群 G lt S gt 叫做有限生成群 有限生成阿貝爾群的結構特別容易描述 很多對有限生成群成立的定理對一般的群無效 所有有限群是有限生成群因為 lt G gt G 整數集在加法下的群是由 lt 1 gt 和 lt 1 gt 二者有限生成的無限群的例子 但是有理數集在加法下的群不能有限生成 不可數群都不能有限生成 同一個群的不同子集都可以是生成子集 比如 如果 p 和 q 是 gcd p q 1 的整數 則 lt p q gt 還生成整數集在加法下的群 根據貝祖等式 儘管有限生成群的所有商群是有限生成群為真 簡單的在商群中選取生成元的像 有限生成群的子群不必須是有限生成群 例如 設 G 是有兩個生成元 x 和 y 的自由群 它明顯是有限生成群 因為 G lt x y gt 并設 S 是由形如 ynxy n 的所有 G 的元素構成子集 這里的 n 是自然數 因為 lt S gt 明顯同構於有可數個生成元的自由群 它不能被有限生成 但是 所有有限生成阿貝爾群的子群完全是有限生成群 更進一步 所有有限生成群的類在群擴張下閉合 要看出這個結論 選取 有限生成 正規子群和商群的生成集合 正規子群的生成元和商群的生成元的前像一起生成了這個群 自由群 编辑由集合 S 生成的最一般的群是 S 自由生成的群 所有 S 生成的群同構於這個群的因子群 這個特征實用於一個群的展示的表達中 Frattini子群 编辑一個有趣的伙伴主題是非生成元 群 G 的元素 x 是非生成元 如果生成 G 的包含 x 的所有集合 S 在把 x 從 S 中去掉的時候仍生成 G 在帶有加法的整數集中 唯一的非生成元是 0 所有的非生成元的集合形成了 G 的子群 叫做 Frattini子群 例子 编辑可逆元的群 U Z9 是所有的互素於 9 的整數在 mod 9 乘法下的群 U9 1 2 4 5 7 8 這里的所有算術都要模以 9 7 不是 U Z9 的生成元 因為 7 i mod 9 i N 7 4 1 displaystyle 7 i pmod 9 i in mathbb N 7 4 1 nbsp 而 2 是 因為 2 i mod 9 i N 1 2 4 5 7 8 displaystyle 2 i pmod 9 i in mathbb N 1 2 4 5 7 8 nbsp 在另一方面 大小為 n 的 n次對稱群不是循環群 因此它不能由任何一個元素生成 但是它可以從兩個置換 1 2 和 1 2 3 n 生成 例如 對於 S3 我們有 e 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 1 2 無限群也可以有有限生成集合 整數集的加法群有 1 作為生成集合 元素 2 不是生成集合 因為它不能生成奇數 兩元素子集 3 5 是生成集合 因為 5 3 3 1 事實上 任何一對互素的數都可以 這是貝祖等式的結論 參見 编辑凱萊圖 群的展示 有限生成引用 编辑Lang Serge Algebra Graduate Texts in Mathematics 211 3rd Springer Verlag 2002 外部連結 编辑Mathworld Group generators 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 群的生成集合 amp oldid 65524756, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,