單連通

單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的^[1]:322。

定義

 

這個集合不是單連通的，因为任何一个包含“洞”的闭曲线都不能收缩至一点

考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。 換言之^[2]， 拓撲空間X 是单连通的充要条件为：對任意連續映射

${\displaystyle \gamma :\mathrm {S} ^{1}\to X}$ 

在拓撲空間X 中，存在一點x 及同倫等價

${\displaystyle h:[0,1]\times \mathrm {S} ^{1}\to X}$ 

使得

${\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(0,t)=\gamma (t)}$ 

${\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(1,t)=x}$ 

另一种等价的定义是：当且仅当拓撲空間X 道路连通，并对任意的、同起点的（即 p(0) = q(0) 且 p(1) = q(1)）两条路径 p : [0,1] → X 和 q : [0,1] → X， 存在一个同伦

${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X}$ ，

使得

${\displaystyle F(x,0)=p(x)}$ 

${\displaystyle F(x,1)=q(x)}$ 

此时拓撲空間X 是单连通的。

一个拓扑空间X ，当且仅当拓扑空间X 道路连通，且其基本群仅由单位元素构成时，它是单连通的。^[1]:322 类似的，当且仅当对拓扑空间X 中的任意点 (x,y),在X 的基本群中，态射 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$  的集合只有一个元素时，拓扑空间X 是单连通的。^[3]

若拓撲空間X 可寫成單連通開子集之并，則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間（例如流形）通常不在此類。

在複分析中，当且仅当复数域 C 中的开集X 和它的补集在黎曼球面上连通时，X 才是单连通的。 虚部严格大于 0 小于 1 的复数集合，提供了一个有趣的例子：一个无界的、连通的、补集不连通平面的开子集。然而这个集合是单连通的。

讨论

粗略的说，如果空间中的某个物体仅由一小块构成，并且没有任何的“洞”穿过它，则这个物体是单连通的。举个例子：甜甜圈和（带手柄的）咖啡杯均不是单连通的；而一个空心橡胶球是单连通的。 在二维的情况下，圆不是单连通的；而（实心）碟片和直线是单连通的。 连通但不是单连通的空间称为非单连通或多重连通的^[4]。

 

球面是单连通的，因为可以将球面上的任意一条闭曲线，沿球面收缩到一点。

这样的定义只排除了类手柄形状的洞。一个球体或空心的球体是单连通的，因为其表面上的任何闭曲线都能连续地收缩到一点，即使球的中心有一个“孔”。 在更强一些的条件下，如果一个物体在任何维度上都没有洞，则称其为可缩空间（英语：contractible space）。

例子

 

环面不是单连通的。右图中，任意一条彩色闭曲线，都不能在不离开环面的情况下收缩到一点。

• 單位圓盤 ${\displaystyle D^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\}}$  均為單連通
• 虽然实数集 R 自身是单连通的，但实数集 R 的单点紧化不是单连通的。
• 二维欧氏空间 R² 是单连通的，但 R² 除去原点 (0,0) 之后得到的 R²\{0} 非單連通。事實上，它同倫等價於 ${\displaystyle S^{1}}$ ^[5]:195。

当 n > 2时，Rⁿ 和 Rⁿ\{0} 均是单连通的。

• n 维欧氏空间 Rⁿ 的每个凸子集都是单连通的^[6]。
• 二維以上球面 ${\displaystyle S^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\},n\geq 2}$  均為單連通^[6]。

然而 ${\displaystyle S^{1}}$  並非單連通：${\displaystyle \pi _{1}(S^{1},*)=\mathbb {Z} }$ 。

• 每个拓撲向量空間均是单连通的。包括：巴拿赫空间和希尔伯特空间。
• 环面、圆柱体、莫比乌斯带、射影平面和克莱因瓶均不是单连通的。
• 当n 大于 2 时，特殊正交群 SO(n ,R) 都不是單連通的，而特殊么正群 SU(n ) 都是單連通的。
• 長直線L 是单连通的。它的紧化扩展L* 虽然是道路连通的，但不是单连通的。

性質

• 当且仅当一个表面（二维拓扑流形）是连通的，且它的亏格为 0 时，它才是单连通的。
• 任何（适宜）空间X 的通用覆盖都是单连通空间，它通过覆叠映射映射到X。
• 若X 和Y 是同伦等价的，且X 是单连通的，那么Y 也是单连通的。
• 单连通集合的图像经连续函数变换后不一定是单连通的。举个例子：复数平面经指数映射后得到 C\{0}，它不是单连通的。
• 在單連通流形上，一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω=0 。

應用

单连通性的概念在复分析中十分重要：

• 柯西积分定理保证：对一个复平面 C 的单连通开集U，若有全纯函数 f : U → C，全纯函数f 在集合U 上有不定积分F。则在集合U 上，被积函数f 的每一个线积分的值，只取决于积分路径的两个端点u 和v，积分值能表示为 F (v) - F (u)。因此，积分值不依赖于连接 u 和 v 的特定路径。
• 黎曼映射定理保证：除复数域 C 自身外，任何非空的、单连通的复数域 C 的开子集共形等价于单位圆盘。

单连通性的概念也是庞加莱猜想的一个重要条件。

參見

• 单位连通空间（英语：Unicoherent space）
• 基本群
• 道路连通
• n-连通
• 同倫
• 形变收缩

參考文獻

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