^ 2.02.12.2George B. Arfken, Hans J. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Elsevier Academic Press(第6版). 2005. ISBN 0-12-088584-0(英语).
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柯西积分定理, 提示, 此条目的主题不是柯西積分公式, 或稱柯西, 古薩定理, 是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理, 说明, 如果从一点到另一点有两个不同的路径, 而函数在两个路径之间处处是全纯的, 则函数的两个路径积分是相等的, 另一个等价的说法是, 单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0, 目录, 定理, 单连通条件的必要性, 等价叙述, 推广, 证明, 推论, 参见, 参考来源, 脚注, 参考文献, 外部链接定理, 编辑设Ω, displaystyle, omega, 是复平面. 提示 此条目的主题不是柯西積分公式 柯西积分定理 或稱柯西 古薩定理 是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理 柯西积分定理说明 如果从一点到另一点有两个不同的路径 而函数在两个路径之间处处是全纯的 则函数的两个路径积分是相等的 另一个等价的说法是 单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0 目录 1 定理 1 1 单连通条件的必要性 1 2 等价叙述 1 3 推广 2 证明 3 推论 4 参见 5 参考来源 5 1 脚注 5 2 参考文献 6 外部链接定理 编辑设W displaystyle Omega 是复平面C displaystyle mathbb C 的一个单连通的开子集 f W C displaystyle f Omega rightarrow mathbb C 是一个W displaystyle Omega 上的全纯函数 设g displaystyle gamma 是W displaystyle Omega 内的一个分段可求长的简单闭曲线 即连续而不自交并且能定义长度的闭合曲线 那么 g f z d z 0 displaystyle oint gamma f z dz 0 1 52单连通条件的必要性 编辑 W displaystyle Omega 是单连通表示W displaystyle Omega 中没有 洞 例如任何一个开圆盘D z z z 0 lt r displaystyle D z z z 0 lt r 都符合条件 这个条件是很重要的 考虑中央有 洞 的圆盘 D h z 0 lt z z 0 lt 2 displaystyle D h z 0 lt z z 0 lt 2 在其中取逆时针方向的单位圆路径 g t e i t t 0 2 p displaystyle gamma t e it quad t in left 0 2 pi right 考虑函数f z 1 z displaystyle f z mapsto 1 z 它在D h displaystyle D h 中是全纯函数 但它的路径积分 g 1 z d z 0 2 p i e i t e i t d t 0 2 p i d t 2 p i displaystyle oint gamma frac 1 z dz int 0 2 pi ie it over e it dt int 0 2 pi i dt 2 pi i 不等于零 这是因为函数f displaystyle f 在 洞 中有奇点 如果考虑整个圆盘D s z z z 0 lt 2 displaystyle D s z z z 0 lt 2 就会发现f displaystyle f 在圆盘中央的点上没有定义 不是全纯函数 2 419 等价叙述 编辑 柯西积分定理有若干个等价的叙述 例如 设W displaystyle Omega 是复平面C displaystyle mathbb C 的一个开子集 f W C displaystyle f Omega rightarrow mathbb C 是一个定义在W displaystyle Omega 上的函数 设g 1 0 1 W displaystyle gamma 1 0 1 rightarrow Omega 与g 2 0 1 W displaystyle gamma 2 0 1 rightarrow Omega 是W displaystyle Omega 内的两条可求长的简单曲线 它们的起点和终点都重合 g 1 0 g 2 0 g 1 1 g 2 1 displaystyle gamma 1 0 gamma 2 0 quad gamma 1 1 gamma 2 1 并且函数f displaystyle f 在g 1 displaystyle gamma 1 与g 2 displaystyle gamma 2 围成的闭合区域D displaystyle D 内是全纯函数 那么函数f displaystyle f 沿这两条曲线的路径积分相同 g 1 f z d z g 2 f z d z displaystyle int gamma 1 f z dz int gamma 2 f z dz 推广 编辑 除了对分段可求长的简单闭合曲线成立以外 柯西积分定理对于某些更复杂的曲线也适用 设W displaystyle Omega 是复平面C displaystyle mathbb C 的一个开子集 f W C displaystyle f Omega rightarrow mathbb C 是定义在W displaystyle Omega 上的全纯函数 无论W displaystyle Omega 内的曲线g displaystyle gamma 是自交还是卷绕数多于1 围着某一点转了不止一圈 只要g displaystyle gamma 能够通过连续形变收缩为W displaystyle Omega 内的一点 就有 g f z d z 0 displaystyle oint gamma f z dz 0 1 59证明 编辑以下的证明对函数有较为严格的要求 但对物理学中的应用来说已经足够 设W displaystyle Omega 是复平面C displaystyle mathbb C 的一个开子集 f W C displaystyle f Omega rightarrow mathbb C 是定义在W displaystyle Omega 上的全纯函数 g displaystyle gamma 是W displaystyle Omega 内的可求长的简单闭合曲线 假设f displaystyle f 的一阶偏导数也在W displaystyle Omega 上连续 那么可以根据格林定理作出证明 具体如下 为了便于表达 将函数f displaystyle f 写为实部函数和虚部函数 f z f x y i u x y i i v x y i displaystyle f z f x yi u x yi i v x yi 由于d z d x i d y displaystyle displaystyle dz dx i dy 积分 g f z d z g u i v d x i d y g u d x v d y i g v d x u d y displaystyle oint gamma f z dz oint gamma u iv dx i dy oint gamma u dx v dy i oint gamma v dx u dy 依据格林定理 右端的两个环路积分都可以变形为g displaystyle gamma 围成的区域D g displaystyle D gamma 上的面积分 g u d x v d y D g v x u y d x d y g v d x u d y D g u x v y d x d y displaystyle oint gamma u dx v dy iint D gamma left frac partial v partial x frac partial u partial y right dx dy qquad oint gamma v dx u dy iint D gamma left frac partial u partial x frac partial v partial y right dx dy 另一方面 由于f displaystyle f 是全纯函数 所以它的实部函数和虚部函数满足柯西 黎曼方程 u x v y u y v x displaystyle partial u over partial x partial v over partial y qquad partial u over partial y partial v over partial x 所以以上的两个积分中的被积函数都是0 D g v x u y d x d y D g u y u y d x d y 0 displaystyle iint D gamma left frac partial v partial x frac partial u partial y right dx dy iint D gamma left frac partial u partial y frac partial u partial y right dx dy 0 D g u x v y d x d y D g u x u x d x d y 0 displaystyle iint D gamma left frac partial u partial x frac partial v partial y right dx dy iint D gamma left frac partial u partial x frac partial u partial x right dx dy 0 因而积分也是0 g f z d z 0 displaystyle oint gamma f z dz 0 2 420 421推论 编辑该定理的一个直接推论 是在单连通域内全纯函数的路径积分可以用类似于微积分基本定理的方法来计算 设W displaystyle Omega 是复平面C displaystyle mathbb C 的一个开子集 f W C displaystyle f Omega rightarrow mathbb C 是一个W displaystyle Omega 上的全纯函数 函数f displaystyle f 在W displaystyle Omega 内的路径积分 只与积分的起点和终点有关 与中间经历的路径无关 假设 起点为a 则可以定义一个函数F W C displaystyle F Omega rightarrow mathbb C b W F b g a b f z d z a b f z d z displaystyle forall b in Omega F b int gamma a b f z dz int a b f z dz 其中的g a b displaystyle gamma a b 可以是任何以a 为起点 b 为终点的分段可求长简单曲线 函数F displaystyle F 被称为f displaystyle f 的 复 原函数或反导数函数 2 422柯西积分定理与柯西积分公式是等价的 从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理 参见 编辑柯西 黎曼方程 柯西积分公式 留数参考来源 编辑脚注 编辑 1 0 1 1 郑建华 复变函数 清华大学出版社 2005 ISBN 9787302096931 2 0 2 1 2 2 George B Arfken Hans J Weber Mathematical Methods for Physicists Elsevier Academic Press 第6版 2005 ISBN 0 12 088584 0 英语 参考文献 编辑 Kaplan W Integrals of Analytic Functions Cauchy Integral Theorem 9 8 in Advanced Calculus 4th ed Reading MA Addison Wesley pp 594 598 1991 Knopp K Cauchy s Integral Theorem Ch 4 in Theory of Functions Parts I and II Two Volumes Bound as One Part I New York Dover pp 47 60 1996 Krantz S G The Cauchy Integral Theorem and Formula 2 3 in Handbook of Complex Variables Boston MA Birkhauser pp 26 29 1999 Morse P M and Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill pp 363 367 1953 Woods F S Integral of a Complex Function 145 in Advanced Calculus A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics Boston MA Ginn pp 351 352 1926 外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 柯西积分定理 MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 柯西积分定理 amp oldid 76622615, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,