留数, 提示, 此条目的主题不是流数, 在复分析中, 是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数, 更一般地, 对于任何除去离散点集, 之外全纯的函数f, displaystyle, mathbb, setminus, rightarrow, mathbb, 都可以计算其, 即便是离散点集中含有本质奇点, 可以是很容易计算的, 一旦知道了, 就可以通过定理来计算更复杂的路径积分, 目录, 定义, 例子, 的计算, 可去奇点, 一阶极点, 较高阶极点的极限公式, 无穷远点的, 级数方法, 参见, 参考文献,. 提示 此条目的主题不是流数 在复分析中 留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数 更一般地 对于任何除去离散点集 ak 之外全纯的函数f C a k C displaystyle f mathbb C setminus a k rightarrow mathbb C 都可以计算其留数 即便是离散点集中含有本质奇点 留数可以是很容易计算的 一旦知道了留数 就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分 目录 1 定义 2 例子 3 留数的计算 3 1 可去奇点 3 1 1 一阶极点 3 1 2 较高阶极点的极限公式 3 2 无穷远点的留数 3 3 级数方法 4 参见 5 参考文献 6 外部链接定义 编辑亚纯函数f displaystyle f 在孤立奇点a displaystyle a 的留数 通常记为Res f a displaystyle operatorname Res f a 或Res a f displaystyle operatorname Res a f 是使f z R z a displaystyle f z R z a 在穿孔圆盘0 lt z a lt d displaystyle 0 lt z a lt delta 内具有解析原函数的唯一值R displaystyle R 另外 留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算 并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a 1 留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上 例子 编辑作为例子 考虑以下的路径积分 C e z z 5 d z displaystyle oint C e z over z 5 dz 其中C是围绕原点的任意 正向 简单闭曲线 我们来计算这个积分 不用任何标准的积分定理 现在 ez的泰勒级数是众所周知的 我们可以把这个级数代入被积表达式中 则积分变为 C 1 z 5 1 z z 2 2 z 3 3 z 4 4 z 5 5 z 6 6 d z displaystyle oint C 1 over z 5 left 1 z z 2 over 2 z 3 over 3 z 4 over 4 z 5 over 5 z 6 over 6 cdots right dz 我们把1 z5的项代进级数中 便得到 C 1 z 5 z z 5 z 2 2 z 5 z 3 3 z 5 z 4 4 z 5 z 5 5 z 5 z 6 6 z 5 d z displaystyle oint C left 1 over z 5 z over z 5 z 2 over 2 z 5 z 3 over 3 z 5 z 4 over 4 z 5 z 5 over 5 z 5 z 6 over 6 z 5 cdots right dz dd C 1 z 5 1 z 4 1 2 z 3 1 3 z 2 1 4 z 1 5 z 6 d z displaystyle oint C left 1 over z 5 1 over z 4 1 over 2 z 3 1 over 3 z 2 1 over 4 z 1 over 5 z over 6 cdots right dz 现在 积分便化为更简单的形式 由于 C 1 z a d z 0 a Z a 1 displaystyle oint C 1 over z a dz 0 quad a in mathbb Z quad a neq 1 因此任何不是cz 1形式的项都变成了零 那么积分变为 C 1 4 z d z 1 4 C 1 z d z 1 4 2 p i p i 12 displaystyle oint C 1 over 4 z dz 1 over 4 oint C 1 over z dz 1 over 4 2 pi i pi i over 12 1 4 就是ez z5在z 0的留数 记为 R e s 0 e z z 5 displaystyle mathrm Res 0 e z over z 5 或R e s z 0 e z z 5 displaystyle mathrm Res z 0 e z over z 5 或R e s f 0 displaystyle mathrm Res f 0 留数的计算 编辑设复平面内有一穿孔圆盘D z 0 lt z c lt R f是定义在D内的一个全纯函数 f在c的留数Res f c 是罗朗级数展开式的 z c 1项的系数a 1 计算留数的值的方法有很多 具体采用那种方法取决于题目中的函数 以及奇点的性质 根据柯西积分公式 我们有 Res f c 1 2 p i g f z d z displaystyle operatorname Res f c 1 over 2 pi i oint gamma f z dz 其中g是逆时针绕着c的一条闭曲线 我们可以选择g为绕着c的一个圆 它的半径可以任意地小 可去奇点 编辑 如果函数f在整个圆盘 z c lt R 内可以延拓为全纯函数 则Res f c 0 反过来不总成立 一阶极点 编辑 在一阶极点 留数由以下公式给出 Res f c lim z c z c f z displaystyle operatorname Res f c lim z to c z c f z 设g和h在c的一个邻域内是全纯函数 h c 0而g c 0 那么函数f z g z h z 在极点c的留数为 Res f c g c h c displaystyle operatorname Res f c frac g c h c 较高阶极点的极限公式 编辑 更一般地 f在z c的留数 其中c是n阶极点 由以下公式给出 R e s f c 1 n 1 lim z c d n 1 d z n 1 z c n f z displaystyle mathrm Res f c frac 1 n 1 lim z to c frac d n 1 dz n 1 left z c n f z right 以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的 对于较高阶的极点 则级数展开式更加容易一些 无穷远点的留数 编辑 一般地 无穷远点的留数是指 R e s f z R e s 1 z 2 f 1 z 0 displaystyle mathrm Res f z infty mathrm Res left frac 1 z 2 f left frac 1 z right 0 right 如果满足下面的条件 lim z f z 0 displaystyle lim z to infty f z 0 则可以用下面的公式计算无穷远点的留数 R e s f lim z z f z displaystyle mathrm Res f infty lim z to infty z cdot f z 如果不满足 即 lim z f z c 0 displaystyle lim z to infty f z c neq 0 则无穷远点的留数为 R e s f lim z z 2 f z displaystyle mathrm Res f infty lim z to infty z 2 cdot f z 级数方法 编辑 如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数 则留数的计算比用其它的方法要容易得多 1 第一个例子 计算以下函数在奇点的留数 f z sin z z 2 z displaystyle f z sin z over z 2 z 它可以用来计算一定的路径积分 这个函数表面上在z 0处具有奇点 但如果把分母因式分解 而把函数写成 f z sin z z z 1 displaystyle f z sin z over z z 1 则显然z 0是可去奇点 因此z 0处的留数为零 唯一一个另外的奇点是z 1 函数g z 在z a的泰勒级数为 g z g a g a z a g a z a 2 2 g a z a 3 3 displaystyle g z g a g a z a g a z a 2 over 2 g a z a 3 over 3 cdots 因此 对于g z sin z和a 1 我们有 sin z sin 1 cos 1 z 1 sin 1 z 1 2 2 cos 1 z 1 3 3 displaystyle sin z sin 1 cos 1 z 1 sin 1 z 1 2 over 2 cos 1 z 1 3 over 3 cdots 对于g z 1 z和a 1 我们有 1 z 1 z 1 1 1 z 1 z 1 2 z 1 3 displaystyle frac 1 z frac 1 z 1 1 1 z 1 z 1 2 z 1 3 cdots 把两个级数相乘 并除以 z 1 便得 sin z z z 1 sin 1 z 1 cos 1 sin 1 z 1 sin 1 2 cos 1 sin 1 displaystyle frac sin z z z 1 sin 1 over z 1 cos 1 sin 1 z 1 left frac sin 1 2 cos 1 sin 1 right cdots 因此f z 在z 1的留数为sin 1 2 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数 拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用 令 u z k 1 u k z k displaystyle u z sum k geq 1 u k z k 为一个整函数 并令 v z k 1 v k z k displaystyle v z sum k geq 1 v k z k 参见 编辑柯西积分公式 柯西积分定理 莫雷拉定理参考文献 编辑Ahlfors Lars Complex Analysis McGraw Hill 1979 Marsden amp Hoffman Basic complex analysis Freeman 1999 外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Complex Residue MathWorld 留数的教程 取自 https zh wikipedia org w index php title 留数 amp oldid 74432243, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,