亚纯函数, 在复分析中, 一个复平面的开子集d上的是一个在d上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数, 那些孤立点称为该函数的极点, 每个d上的可以表达为两个全纯函数的比, 其分母不恒为0, 极点也就是分母的零点, Γ函数在整个复平面上亚纯, 直观的讲, 一个是两个性质很好的, 全纯, 函数的比, 这样的函数本身性质也很, 除了分式的分母为零的点, 那时函数的值为无穷, 从代数的观点来看, 如果d是一个连通集, 则的集合是全纯函数的整域的分式域, 这和有理数q, displaystyle, mathbb, 和整. 在复分析中 一个复平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数 那些孤立点称为该函数的极点 每个D上的亚纯函数可以表达为两个全纯函数的比 其分母不恒为0 极点也就是分母的零点 G函数在整个复平面上亚纯 直观的讲 一个亚纯函数是两个性质很好的 全纯 函数的比 这样的函数本身性质也很 好 除了分式的分母为零的点 那时函数的值为无穷 从代数的观点来看 如果D是一个连通集 则亚纯函数的集合是全纯函数的整域的分式域 这和有理数Q displaystyle mathbb Q 和整数Z displaystyle mathbb Z 的关系类似 目录 1 例子 2 性质 3 黎曼曲面上的亚纯函数 4 参考例子 编辑所有的有理函数如f z z 3 2 z 1 z 5 3 z 1 displaystyle f z frac z 3 2z 1 z 5 3z 1 dd 都是在整个复平面上的亚纯函数 函数f z e z z displaystyle f z frac e z z 和f z sin z z 1 2 displaystyle f z frac sin z z 1 2 dd 以及G函数和黎曼z函數都是在整个复平面上的亚纯函数 函数f z e 1 z displaystyle f z e frac 1 z dd 在除去原点 0的整个复平面上有定义 但是 0不是这个函数的一个极点 而是一个本性奇点 因此 这个函数只是在C 0 上的亚纯函数 而不是在整个复平面上的亚纯函数 函数f z ln z displaystyle f z ln z 不是在整个复平面上的亚纯函数 因为不能通过从复平面去除可数个点而让它变成全纯的 性质 编辑由于亚纯函数的奇点是孤立点 它们至多有可数多个 极点的个数可以有无穷多个 例如函数 f z 1 sin z displaystyle f z frac 1 sin z 使用解析拓延来消去可去奇点后 亚纯函数可以进行加减法和乘法的运算 当g z displaystyle g z 在D的连通部分上不恒为零时 还可以定义f g 因此 当D连通时 所有的亚纯函数构成一个域 为复数域的一个域扩张 黎曼曲面上的亚纯函数 编辑在一个黎曼曲面上 每个点都拥有一个同构于复平面上的一个开子集的开邻域 因此 在任意黎曼曲面上都可以定义亚纯函数 当D为整个黎曼球时 亚纯函数域就是复平面上的单变量有理函数域 因为可以证明任意黎曼球上的亚纯函数都是有理函数 这是所谓的GAGA原理的一个特例 参考 编辑Serge Lang Complex Analysis Springer 2003 ISBN 0 387 98592 1 Stein Complex Analysis Ahlfors Complex Analysis 1966 取自 https zh wikipedia org w index php title 亚纯函数 amp oldid 70533849, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,