极点, 复分析, 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点, 它的表现如同z, displaystyle, 时1, displaystyle, frac, 的奇点, 也就是说, 如果当z, displaystyle, 函数f, displaystyle, infty, 那么f, displaystyle, 在z, displaystyle, 处便具有极点, 伽玛函数的绝对值, 从左面可以看出, 在极点处函数的值趋于无穷大, 而在图像的右面, 则没有极点, 目录, 定义, 性质, 评论, 参见, 外部链接定义, 编辑假设u, . 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点 它的表现如同z a 0 displaystyle z a 0 时1 z a n displaystyle frac 1 z a n 的奇点 也就是说 如果当z a displaystyle z to a 时 函数f z displaystyle f z to infty 那么f z displaystyle f z 在z a displaystyle z a 处便具有极点 伽玛函数的绝对值 从左面可以看出 在极点处函数的值趋于无穷大 而在图像的右面 则没有极点 目录 1 定义 2 性质 3 评论 4 参见 5 外部链接定义 编辑假设U displaystyle U 是复平面C displaystyle mathbb C 的开子集 a displaystyle a 是U displaystyle U 的一个元素 f U a C displaystyle f U a to mathbb C 是一个在定义域内全纯的函数 如果存在一个全纯函数g U C displaystyle g U to mathbb C 和一个非负整数n displaystyle n 使得对于所有U a displaystyle U a 内的z displaystyle z 都有 f z g z z a n displaystyle f z frac g z z a n 那么a displaystyle a 便称为f displaystyle f 的极点 满足以上条件的最小整数n displaystyle n 称为极点的阶 一阶的极点又称为简单极点 性质 编辑1 函数f在极点a的极限值是 displaystyle infty 也就是说 lim z a f z displaystyle lim z rightarrow a f z infty 2 由性质1 可知 如果令函数 h z 1 f z displaystyle h z frac 1 f z 那么代入定义可知 h z z a m 1 g z displaystyle h z z a m frac 1 g z 其中1 g z displaystyle frac 1 g z 在z a displaystyle z a 点解析 那么有z a displaystyle z a 是h z displaystyle h z 的m阶零点 3 由于g displaystyle g 是全纯函数 f displaystyle f 可以表示为 f z a n z a n a 1 z a k 0 a k z a k displaystyle f z frac a n z a n cdots frac a 1 z a sum k geq 0 a k z a k 这是一个洛朗级数 它的主部分是有限的 全纯函数 k 0 a k z a k displaystyle sum k geq 0 a k z a k 称为f displaystyle f 的正则部分 因此 点a displaystyle a 是f displaystyle f 的n displaystyle n 阶极点 当且仅当f displaystyle f 在a displaystyle a 处的罗朗级数中所有低于 n displaystyle n 的次数都为零 而 n displaystyle n 次项不为零 评论 编辑如果函数f displaystyle f 的一阶导数在a displaystyle a 处具有简单极点 则a displaystyle a 是f displaystyle f 的一个分支点 英语 Branch point 但反过来不成立 一个既不是极点又不是分支点的非可去奇点称为本性奇点 除了一些孤立奇点外全纯的函数 且所有的奇点均为极点 则该函数称为亚纯函数 参见 编辑零点 留数外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Pole MathWorld 零点和极点的教程 取自 https zh wikipedia org w index php title 极点 复分析 amp oldid 75157006, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,