代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

性質的比較

更多信息：概形論術語

給定一個 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的局部有限型概形 ${\displaystyle X}$ ，可以考慮相應的複解析空間 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$ 。此對應 ${\displaystyle X\mapsto X^{\mathrm {an} }}$  定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模 ${\displaystyle F}$ ，同樣可考慮相應的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}}$ -模 ${\displaystyle F^{\mathrm {an} }}$ ，這也給出相應的函子。可以證明 ${\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }}$  是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是：${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$  是平坦的 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}}$ -模。

拓撲性質比較

設 ${\displaystyle T\subset X}$  為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 ${\displaystyle T}$  的性質在 ${\displaystyle X}$  中成立，若且唯若在 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  中成立：

• 開子集
• 閉子集
• 稠密子集

當 ${\displaystyle X}$  為有限型態射時，對於 ${\displaystyle X}$  及 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  本身，下述性質也是相通的：

• 連通
• 不可約

概形性質比較

以下性質對 ${\displaystyle X}$  成立，若且唯若對 ${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  成立：

• 非空
• 離散
• 科恩-麥考利概形
• ${\displaystyle S_{n}}$ 
• ${\displaystyle R_{n}}$ 
• 正規
• 既約
• 維度等於 ${\displaystyle n}$ 

態射性質比較

設 ${\displaystyle f:X\to Y}$  為概形的態射， ${\displaystyle f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }}$  為複解析空間的相應態射，則下述性質對 ${\displaystyle f}$  成立若且唯若對 ${\displaystyle f^{\mathrm {an} }}$  成立：

• 平坦
• 非分歧
• 平展
• 平滑
• 正規
• 既約
• 分離
• 單射（拓撲意義）
• 同構
• 單射（範疇論意義）
• 開浸入

若再要求 ${\displaystyle f}$  是有限型態射，則可再加入下述性質：

• 滿射（拓撲意義）
• 優勢態射
• 閉浸入
• 浸入
• 真態射
• 有限態射

上同調比較

以下假設 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是真態射，對任一個凝聚 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ -模 ${\displaystyle F}$ ，有自然同構：

${\displaystyle (R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })}$ 

當 ${\displaystyle Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} }$  時，遂有層上同調的比較定理：

${\displaystyle H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })}$ 

此時 ${\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }}$  給出範疇的等價。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理則斷言：若 ${\displaystyle X}$  是 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -上的局部有限型概形，且 ${\displaystyle {\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }}$  是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -概形 ${\displaystyle X'}$  及平展態射 ${\displaystyle X'\to X}$ ，使得 ${\displaystyle X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'}$ 。此外，函子 ${\displaystyle X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }}$  給出從【${\displaystyle X}$  的有限平展覆蓋】到【${\displaystyle X^{\mathrm {an} }}$  的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 ${\displaystyle X}$  為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：

${\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})}$ 

其中 ${\displaystyle x_{0}\in X(\mathbb {C} )}$ ，而 ${\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}}$  表示代數基本群 ${\displaystyle \pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}$  對有限指數子群的完備化。

文獻

• J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.