概形

概形（scheme）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如威爾猜想（英语：Weil conjectures）^[1] 。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。

定義

給定一個局部賦環空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ，如果對${\displaystyle X}$ 的一個開集${\displaystyle V}$ ，${\displaystyle (V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})}$ 是仿射概形，稱${\displaystyle V}$ 爲仿射開集。

一個局部賦環空間${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 稱爲概形，如果${\displaystyle X}$ 的每一點${\displaystyle x}$ 都有仿射開邻域，即包含${\displaystyle x}$ 的仿射開集。

直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。

兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。

概形範疇

全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見概形的態射（英语：morphism of schemes））。給定概形${\displaystyle Y}$ ，所謂${\displaystyle Y}$ 之上的概形${\displaystyle X}$ （又稱${\displaystyle Y}$ -概形）即是概形間的態射${\displaystyle X\to Y}$ 。交換環${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ 即是態射${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}$ 。

域${\displaystyle k}$ 上的代數簇可定義為${\displaystyle k}$ 上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為${\displaystyle k}$ 之上有限型（英语：Morphism of finite type）的整、分離概形。^[2]

態射${\displaystyle f:X\to Y}$ 確定了正則函數環上的拉回同態${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)}$ 。對於仿射概形，此構造給出概形態射${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)}$ 與環同態${\displaystyle B\to A}$ 之間的一一對應。^[3]此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。

由於${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是交換環範疇（英语：category of commutative rings）的始对象，概形範疇對應以${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ 為終對象。對於交換環${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ ，所謂${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle R}$ 值點即是態射${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}$ 的截面（英语：section (category theory)），全體${\displaystyle R}$ 值點的集合記作${\displaystyle X(R)}$ ，其對應的古典概念是定義${\displaystyle X}$ 的方程組在${\displaystyle R}$ 中的解集。若${\displaystyle R}$ 實為域${\displaystyle k}$ ，則${\displaystyle X(k)}$ 亦稱為${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle k}$ -有理點（英语：rational point）集。

推而廣之，設有交換環${\displaystyle R}$ ，其上有概形${\displaystyle X}$ 和交換代數${\displaystyle S}$ ，則${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle S}$ 值點定義為${\displaystyle R}$ 之上的態射${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to X}$ （該態射需要與射向${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ 的態射組成交換圖表），${\displaystyle S}$ 值點的集合記作${\displaystyle X(S)}$ 。（類比到方程組的情況，相當於將某個域${\displaystyle k}$ 擴張成${\displaystyle E}$ ，再考慮${\displaystyle E}$ 中的解集。）固定${\displaystyle R}$ 及其上的概形${\displaystyle X}$ 時，映射${\displaystyle S\mapsto X(S)}$ 為自交換${\displaystyle R}$ 代數範疇至集合範疇的函子。${\displaystyle R}$ 上的概形${\displaystyle X}$ 可從此點函子（英语：functor of points）確定。^[4]

概形的纖維積（英语：fiber product of schemes）總存在：對任意兩態射${\displaystyle X\to Y,Z\to Y}$ ，皆可在概形範疇內找到纖維積${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ （即範疇學拉回）。若${\displaystyle X,Z}$ 為域${\displaystyle k}$ 上的概形，則兩者在${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ 上的纖維積可以視為${\displaystyle k}$ -概形範疇中的積，例如仿射空間${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ 與${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 在${\displaystyle k}$ 上之積正是${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$ 。

由於概形範疇既有纖維積，又有終對象${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ，其有齊全部有限极限。

歷史

概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：préschéma，英語：prescheme），1967年左右改稱現名。

概形的中文名稱源自日文“概型”。

例

• 仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}}$ （基域取複域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 為例），則當${\displaystyle n\geq 2}$ 時，${\displaystyle X}$ 不為仿射。（但對於${\displaystyle n=1}$ 的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]}$ 。）欲證${\displaystyle X}$ 非仿射，可以證出當${\displaystyle n\geq 2}$ 時，${\displaystyle X}$ 上的每個正則映射，皆可延拓至${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ 上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的哈托格斯延拓定理（英语：Hartogs's extension theorem））。換言之，嵌入${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$ 導出自${\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ 至${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ 的環同構。假若${\displaystyle X}$ 仿射，將由此得出${\displaystyle f}$ 本身亦為同構，但${\displaystyle f}$ 不為滿射，矛盾。因此，概形${\displaystyle X}$ 不為仿射。^[5]
• 設${\displaystyle k}$ 為域，則可數積${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }k}$ 的譜${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ 為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應：超濾子${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 對應質理想

  ${\displaystyle \quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},}$ 

  特別地，正整數${\displaystyle n}$ 對應的主超濾子，對應的質理想是${\displaystyle \{x:x_{n}=0\}}$ 。^[6]本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個既約分支（英语：irreducible component）。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（諾特概形（英语：Noetherian scheme）則與之相對，衹有有限多個既約分支。）

參考文獻

1. Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique".
2. Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], （原始内容于2022-11-01） .
3. Hartshorne 1997，Proposition II.2.3.
4. Eisenbud & Harris 1998，Proposition VI-2.
5. Hartshorne 1997，Exercises I.3.6 and III.4.3.
6. Arapura 2011，section 1.

• Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688  . 
• Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819. 
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry（粵语：代數幾何 (書)）. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. 

參見

• 《代數幾何基礎》