域上的代数, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目没有列出任何参考或来源, 2021年1月19日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2021年1月19日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, tem. 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目没有列出任何参考或来源 2021年1月19日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2021年1月19日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 域上的代数 algebra over a field 或域代数 一般可简称为代数 是在向量空间的基础上定义了一个双线性的乘法运算而构成的代数结构 目录 1 定义 1 1 例1 复数 1 2 例2 四元数 1 3 例3 三维向量的叉积 1 4 定义定义 编辑介绍域上的代数的一般定义之前 先看几个例子 例1 复数 编辑 复数即形如 a b i displaystyle a bi nbsp 的数 其中 a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp 为实数而 i displaystyle i nbsp 为虚数单位 a b i displaystyle a bi nbsp 可表示为实向量 a b displaystyle a b nbsp 且在向量表示下的加法与标量乘法分别与两个复数的加法和一个实数与一个复数的乘法相同 因此复数集是实数域上的二维向量空间 而两个复数的乘法定义为 a b i c d i a c b d a d b c i displaystyle a bi c di ac bd ad bc i nbsp 结果仍为复数 且此运算对加法和标量乘法满足双线性性 设 x displaystyle mathbf x nbsp y displaystyle mathbf y nbsp 和 z displaystyle mathbf z nbsp 为任意复数而 a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp 为任意实数 可验证 x y z x z y z displaystyle mathbf x mathbf y mathbf z mathbf x mathbf z mathbf y mathbf z nbsp a x b y a b x y displaystyle a mathbf x b mathbf y ab mathbf x mathbf y nbsp 复数的乘法满足交换律 故左右分配律等价 只需考虑其中之一 例2 四元数 编辑 四元数即形如 a b i c j d k displaystyle a b mathbf i c mathbf j d mathbf k nbsp 的数 其中 a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp c displaystyle c nbsp 和 d displaystyle d nbsp 为实数而 i displaystyle mathbf i nbsp j displaystyle mathbf j nbsp 和 k displaystyle mathbf k nbsp 为满足 i 2 j 2 k 2 i j k 1 displaystyle mathbf i 2 mathbf j 2 mathbf k 2 mathbf ijk 1 nbsp 的三个四元数单位 与复数类似 四元数集是实数域上的四维向量空间 根据四元数单位的乘法表可得两个四元数的乘积如下 a b i c j d k w x i y j z k a w b x c y d z a x b w c z d y i a y b z c w d x j a z b y c x d w k displaystyle begin aligned amp a b mathbf i c mathbf j d mathbf k w x mathbf i y mathbf j z mathbf k amp aw bx cy dz ax bw cz dy mathbf i ay bz cw dx mathbf j az by cx dw mathbf k end aligned nbsp 设 p displaystyle mathbf p nbsp q displaystyle mathbf q nbsp 和 r displaystyle mathbf r nbsp 为任意四元数而 a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp 为任意实数 可验证 p q r p q p r displaystyle mathbf p mathbf q mathbf r mathbf p mathbf q mathbf p mathbf r nbsp p q r p r q r displaystyle mathbf p mathbf q mathbf r mathbf p mathbf r mathbf q mathbf r nbsp a p b q a b p q displaystyle a mathbf p b mathbf q ab mathbf p mathbf q nbsp 四元数的乘法不满足交换律 左右分配律需分别考虑 例3 三维向量的叉积 编辑 两个右手系标准正交基下的三维向量 u u 1 u 2 u 3 displaystyle mathbf u u 1 u 2 u 3 nbsp 和 v v 1 v 2 v 3 displaystyle mathbf v v 1 v 2 v 3 nbsp 其叉积为 u v u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 displaystyle mathbf u times mathbf v u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 nbsp 设 u displaystyle mathbf u nbsp v displaystyle mathbf v nbsp 和 w displaystyle mathbf w nbsp 为任意三维向量而 a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp 为任意实数 可验证 u v w u v u w displaystyle mathbf u times mathbf v mathbf w mathbf u times mathbf v mathbf u times mathbf w nbsp u v w u w v w displaystyle mathbf u mathbf v times mathbf w mathbf u times mathbf w mathbf v times mathbf w nbsp a p b q a b p q displaystyle a mathbf p times b mathbf q ab mathbf p times mathbf q nbsp 与前述两例不同的是 三维向量的叉积不满足结合律 即一般来说 u v w u v w displaystyle mathbf u times mathbf v times mathbf w mathbf u times mathbf v times mathbf w nbsp 不成立 亦不存在单位元 即不存在向量 u displaystyle mathbf u nbsp 使得对任意向量 v displaystyle mathbf v nbsp 皆有 u v v u v displaystyle mathbf u times mathbf v mathbf v times mathbf u mathbf v nbsp 带叉积的三维向量空间是一个李代数 定义 编辑 以上三例中 乘法运算皆满足双线性性而不一定满足交换律或结合律或存在单位元 以上三例的共同点 概括为域上的代数 定义如下 设 K displaystyle K nbsp 为域 A displaystyle A nbsp 为 K displaystyle K nbsp 上的向量空间 其加法运算为 displaystyle nbsp 标量乘法为 displaystyle cdot nbsp 定义 A displaystyle A nbsp 上的二元运算 A A A displaystyle times A times A to A nbsp 若 displaystyle times nbsp 满足双线性性 即对于任意 x y z A displaystyle mathbf x mathbf y mathbf z in A nbsp 和 a b K displaystyle a b in K nbsp 满足以下条件 对加法的左分配律 x y z x y x z displaystyle mathbf x times mathbf y mathbf z mathbf x times mathbf y mathbf x times mathbf z nbsp 对加法的右分配律 x y z x z y z displaystyle mathbf x mathbf y times mathbf z mathbf x times mathbf z mathbf y times mathbf z nbsp 与标量乘法相容 a x b y a b x y displaystyle a cdot mathbf x times b cdot mathbf y ab cdot mathbf x times mathbf y nbsp 则称 A displaystyle A nbsp 为 K displaystyle K nbsp 上的代数 K displaystyle K nbsp 称为 A displaystyle A nbsp 的基域 运算 displaystyle times nbsp 常称作乘法 且运算符一般可以省略 即 x y displaystyle mathbf x times mathbf y nbsp 记作 x y displaystyle mathbf x mathbf y nbsp 标量乘法 displaystyle cdot nbsp 的运算符通常亦省略 但此处并不会导致混淆 因为 displaystyle cdot nbsp 是标量与向量之间的运算而 displaystyle times nbsp 是两个向量之间的运算 另须注意域上的代数与带双线性形式的向量空间区别 在代数中 A displaystyle A nbsp 中两个元素的乘积仍是 A displaystyle A nbsp 中的元素 而 A displaystyle A nbsp 中两个元素由双线性形式得到的 乘积 是标量即 K displaystyle K nbsp 中的元素 取自 https zh wikipedia org w index php title 域上的代数 amp oldid 63799231, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,