双线性映射

在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。

定义

设${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle W}$ 和${\displaystyle X}$ 是在同一个基础域${\displaystyle F}$ 上的三个向量空间。双线性映射是函数

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$ 

使得对于任何${\displaystyle W}$ 中${\displaystyle w}$ ，映射

${\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)}$ 

是从${\displaystyle V}$ 到${\displaystyle X}$ 的线性映射，并且对于任何${\displaystyle V}$ 中的${\displaystyle v}$ ，映射

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$ 

是从${\displaystyle W}$ 到${\displaystyle X}$ 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

如果${\displaystyle V=W}$ 并且有${\displaystyle B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)}$ 对于所有${\displaystyle V}$ 中的${\displaystyle v,w}$ ，则我们称${\displaystyle B}$ 是对称的。

当这里的${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle F}$ 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

如果使用在交换环${\displaystyle R}$ 上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到${\displaystyle n}$ 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环${\displaystyle R}$ 和右模${\displaystyle M_{R}}$ 与左模${\displaystyle _{R}N}$ 的情况，我们可以定义双线性映射${\displaystyle B:M\times N\rightarrow T}$ ，这里的${\displaystyle T}$ 是阿贝尔环，使得对于任何${\displaystyle N}$ 中的${\displaystyle n,m\mapsto B\left(m,n\right)}$ 是群同态，而对于任何${\displaystyle M}$ 中的${\displaystyle m,n\mapsto B\left(m,n\right)}$ 是群同态，并还满足

${\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)}$ 

对于所有的${\displaystyle M}$ 中的${\displaystyle m}$ ，${\displaystyle N}$ 中${\displaystyle n}$ 和${\displaystyle R}$ 中的${\displaystyle t}$ 。

定义${\displaystyle V}$ , ${\displaystyle W}$ ,${\displaystyle X}$ 是有限维的，则${\displaystyle L\left(V,W;X\right)}$ 也是有限维的。对于${\displaystyle X=F}$ 就是双线性形式，这个空间的维度是${\displaystyle \dim V\times \dim W}$ （尽管线性形式的空间${\displaystyle L\left(V\times W;K\right)}$ 的维度是${\displaystyle \dim V+\dim W}$ ）。看得出来，选择${\displaystyle V}$ 和${\displaystyle W}$ 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵${\displaystyle B(e_{i},f_{j})}$ ，反之亦然。现在，如果${\displaystyle X}$ 是更高维的空间，我们明显的有${\displaystyle \dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X}$ 。

例子

• 矩阵乘法是双线性映射${\displaystyle M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)}$ 。
• 如果在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的向量空间${\displaystyle V}$ 承载了内积，则内积是双线性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$ 。
• 一般的说，对于在域${\displaystyle F}$ 上的向量空间${\displaystyle V}$ ，在${\displaystyle V}$ 上的双线性形式同于双线性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$ 。
• 如果${\displaystyle V}$ 是有对偶空间${\displaystyle V^{*}}$ 的向量空间，则应用算子${\displaystyle b(f,v)=f(v)}$ 是从${\displaystyle V^{*}\times V}$ 到基础域的双线性映射。
• 设${\displaystyle V}$ 和${\displaystyle W}$ 是在同一个基础域${\displaystyle F}$ 上的向量空间。如果${\displaystyle f}$ 是${\displaystyle V^{*}}$ 的成员而${\displaystyle g}$ 是${\displaystyle W^{*}}$ 的成员，则${\displaystyle b(v,w)=f(v)g(w)}$ 定义双线性映射${\displaystyle V\times W\rightarrow F}$ 。
• 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 中叉积是双线性映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ 。
• 设${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$ 是双线性映射，而${\displaystyle L:U\rightarrow W}$ 是线性算子，则${\displaystyle (v,u)\rightarrow B(v,Lu)}$ 是在${\displaystyle V\times U}$ 上的双线性映射。
• 零映射，定义于${\displaystyle B(v,w)=o}$ 对于所有${\displaystyle V\times W}$ 中的${\displaystyle (v,w)}$ ，是从${\displaystyle V\times W}$ 到${\displaystyle X}$ 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$ ，则${\displaystyle B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o}$ 。

参见

• 张量积
• 多线性映射
• 半双线性形式
• 双线性滤波