雙線性形式, 在域, 向量空間, 的指的是一个v, 上的线性函数, 满足, displaystyle, forall, 映射, displaystyle, mapsto, displaystyle, mapsto, 都是线性的, 這個定義也適用於交換環的模, 这时线性函数要改为模同态, 注意一個是特別的双线性映射, 目录, 坐標表示法, 对偶空间映射, 镜像對稱性和正交性, 不同空間的推廣, 張量積關係, 參见, 外部链接坐標表示法, 编辑如果v是n維向量空間, 设c, displaystyle, ldots, 是. 在域 F 中 向量空間 V 的雙線性形式指的是一个V V F 上的线性函数 B 满足 v V displaystyle forall v in V 映射 w B v w displaystyle w mapsto B v w w B w v displaystyle w mapsto B w v 都是线性的 這個定義也適用於交換環的模 这时线性函数要改为模同态 注意一個雙線性形式是特別的双线性映射 目录 1 坐標表示法 2 对偶空间映射 3 镜像對稱性和正交性 4 不同空間的推廣 5 張量積關係 6 參见 7 外部链接坐標表示法 编辑如果V是n維向量空間 设C e 1 e n displaystyle C e 1 ldots e n 是V的一组基 定义n n displaystyle n times n 阶的矩阵A使得 A i j B e i e j displaystyle A ij B e i e j 当n 1 displaystyle n times 1 的矩阵x和y表示向量u及v时 双线性形式B可表示为 B u v u T B v displaystyle B u v mathbf u T mathbf Bv 考虑另一组基 C e 1 e n e 1 e n S displaystyle C begin bmatrix e 1 amp cdots amp e n end bmatrix begin bmatrix e 1 amp cdots amp e n end bmatrix S 其中S是一个可逆的n n displaystyle n times n 阶矩阵 基底转换矩阵 则双线性形式在C displaystyle C 下的矩阵A displaystyle A 的形式为 A S T A S displaystyle A S T cdot A cdot S 对偶空间映射 编辑V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V 的線性函数 定义B 1 B 2 V V displaystyle B 1 B 2 colon V to V B 1 v w B v w displaystyle B 1 v w B v w B 2 v w B w v displaystyle B 2 v w B w v 常常記作 B 1 v B v displaystyle B 1 v B v B 2 v B v displaystyle B 2 v B v 這裡的 是放变量的位置 如果 V是有限维空间的话 V和它的雙对偶空間V 是同构的 这时B2是B1 的轉置映射 如果V是无限维空间 B2限制在V在V 的像下的部分是B1 的轉置映射 定義B的轉置映射為雙線性形式 B v w B w v displaystyle B v w B w v 如果 V是有限维空间 B1 及B2 的秩相等 如果他们的秩等于V的維数的话 B1 和 B2 就是由V到V 的同构映射 显然B1是同构当且仅当B2 是同构 此时 B是非退化的 实际上在有限维空间里 这常常作为非退化的定义 B是非退化的当且仅当 w B v w 0 v 0 displaystyle forall w B v w 0 Rightarrow v 0 镜像對稱性和正交性 编辑雙線性形式 B V V F 是镜像對稱的当且仅当 B v w 0 B w v 0 displaystyle B v w 0 Longleftrightarrow B w v 0 有了镜像對稱性 就可以定义正交 两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当 B v w 0 displaystyle B v w 0 一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合 一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当A x 0 displaystyle Ax 0 等价于x T A 0 displaystyle x T A 0 根一般是V的子空间 当A是非奇异矩阵 即当B是非退化时 根都是零子空间 0 设W是一个子空间 定义W v B v w 0 w W displaystyle W perp v B v w 0 forall w in W 当B是非退化时 映射W W displaystyle W rightarrow W perp 是双射 所以W displaystyle W perp 的维数等于dim V dim W 可以证明 雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一 對稱的 B v w B w v displaystyle B v w B w v v w V displaystyle forall v w in V 交替 alternating 的 B v v 0 displaystyle B v v 0 v V displaystyle forall v in V 每个交替形式都是斜对称 skew symmetric 或称反对称 antisymmetric 的 只要展开 B v w v w 就可看出 当F的特征不为2时 逆命题也是真的 斜对称的形式必定交替 然而 当char F 2时 斜对称就是对称 因此不全是交替的 一个双线性形式是对称的 反对称的 当且仅当它对应的矩阵是对称的 反对称的 一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的 且主对角线上都是零 在F的特征不为2时的情况下 一个双线性形式是对称的当且仅当B 1 B 2 V V displaystyle B 1 B 2 colon V to V 相等 是旋钮对称的当且仅当B 1 B 2 displaystyle B 1 B 2 char F 2 时 一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解 B 1 2 B B displaystyle B pm 1 over 2 B pm B 其中B 是B 的转置映射 不同空間的推廣 编辑這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形 B V W F 此時仍有從 V 到 W 的對偶 及從 W 到 V 的對偶的映射 當 V W 皆有限維 則只要其中之一是同構 另一個映射也是同構 在此情況下 B 稱作完美配對 張量積關係 编辑由張量積的泛性質 V displaystyle V 上的雙線性形式一一對映至線性映射 V V F displaystyle V otimes V rightarrow F 若 B displaystyle B 是 V displaystyle V 上的雙線性形 則相應的映射由下式給出 v w B v w displaystyle v otimes w mapsto B v w 所有從 V V displaystyle V otimes V 到 F displaystyle F 的線性映射構成 V V displaystyle V otimes V 的對偶空間 此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素 V V V V displaystyle V otimes V cong V otimes V 同理 對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V 的元素 而交代雙線性形式則可想成二次外冪 L2V 的元素 參见 编辑双线性映射 多线性映射 二次方程式 半双线性形式外部链接 编辑PlanetMath上Bilinear form的資料 取自 https zh wikipedia org w index php title 雙線性形式 amp oldid 68013766, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,