分離態射

在數學中，分離態射是概形間一類具良好幾何性質的態射，由此可定義分離概形。在亞歷山大·格羅滕迪克的著作中，原將一般的概形稱作預概形（préschéma），而將分離概形稱作概形；1967年左右改稱現名。

定義

設${\displaystyle X,S}$ 為概形。一個態射${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ 被稱作分離態射，若且唯若它所給出的對角映射${\displaystyle \Delta :X\rightarrow X\times _{S}X}$ 是閉浸入。

由此可定義${\displaystyle S}$ 上的分離概形。若取${\displaystyle S}$ 為終對象${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} }$ ，可定義絕對的分離概形。

性質探討

從分離性可推出：設${\displaystyle X\rightarrow S}$ 分離，對任何${\displaystyle \mathbf {Sch} _{/S}}$ 裡的態射${\displaystyle f,g:Y\rightarrow X}$ ，若 ${\displaystyle f}$  與 ${\displaystyle g}$  在一個稠密開集上相等，則${\displaystyle f=g}$ 。準此，可視分離概形為豪斯多夫空間在概形論裡的推廣。

根據定義，分離性僅與拓撲有關：${\displaystyle f:X\rightarrow S}$ 分離若且唯若${\displaystyle f_{\mathrm {red} }:X_{\mathrm {red} }\rightarrow Y_{\mathrm {red} }}$ 分離。群概形都是分離的（考慮映射${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$ ）。此外；仿射概形皆屬分離概形。

另一個有用的性質是：若${\displaystyle S}$ 是仿射概形，${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle S}$ 上的分離概形，且${\displaystyle U,V\subset X}$ 是仿射開集，則${\displaystyle U\cap V}$ 亦是仿射開集。

下述常見態射都是分離的：

• 概形間的單射（包括開浸入與閉浸入）都是分離態射
• 分離態射的合成仍是分離態射
• 分離態射換底後仍是分離態射
• 若${\displaystyle f:X\rightarrow Y,g:X'\rightarrow Y'}$ 是分離態射，其積${\displaystyle f\times _{S}g:X\times _{S}X'\rightarrow Y\times _{S}Y'}$ 亦然。
• 若${\displaystyle g\circ f}$ 是分離態射，則${\displaystyle f}$ 是分離態射。
• 射影態射是分離態射

於是乎擬射影態射都是分離的，這涵蓋了經典代數幾何裡的所有對象。但在概形論中，我們可透過黏合造出非分離概形；研究函子的可表性時（特別是模空間的研究）亦須仔細處理分離性。

賦值判準

分離性與豪斯多夫性質的類比給出另一種刻劃。設所論概形都是局部諾特概形。僅須處理${\displaystyle Y}$ 是一維時的情形，透過一些代數的論證，可化約到${\displaystyle Y=\mathrm {Spec} (R)}$ ，其中${\displaystyle R}$ 是個離散賦值環之情形；此時態射的唯一延拓性譯為下述陳述：

設${\displaystyle X,Y}$ 都是局部諾特概形，${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是局部有限型態射，下述陳述等價：

• ${\displaystyle f}$  是分離態射。
• 對任何形如${\displaystyle Y':=\mathrm {Spec} (R)}$ 的${\displaystyle Y}$ -概形，其中${\displaystyle R}$ 是離散賦值環，設${\displaystyle K}$ 為${\displaystyle R}$ 的分式環；若兩個${\displaystyle Y}$ -態射${\displaystyle f,g:Y'\rightarrow X}$ 拉回至${\displaystyle \mathrm {Spec} (K)}$ 相等，則有${\displaystyle f=g}$ 。

文獻

• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2020-12-21]. （原始内容于2016-03-06）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222 [2020-12-21]. （原始内容于2017-01-12）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)