奇点 (几何)

曲線上的奇點（英語：Singular point）是指曲線上參數無法光滑變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$在原點處等于0的孤立點属于奇點的一种

平面上的代數曲線

平面上的代數曲線可以定義為滿足方程f(x, y)=0的點的集合，其中f是多項式函數。

若f展開為以下的形式

${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots \,}$ 

且若原點(0, 0)在曲線上，則a₀=0。若b₁≠0，則隐函数定理可確定有一光滑函數h，使得在原點附近y=h(x)會成立。同様的，若b₀≠0，則在原點附近曲線會接近x=k(y) 。上述任何一個情形下，都有一個光滑映射從R映射到原點附近曲線所在的平面，注意在原點處

${\displaystyle b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},}$ 

因此只要任何一個f的偏導數不為零，曲線即為非奇異。曲線的奇點出現在二個偏導數皆為零的位置。

${\displaystyle f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.}$ 

非奇異點

假設曲線通過原點，原點附近可近似為y=mx，則f可以寫為如下的式子

${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,}$ 

若b₀+mb₁不為零，則f=0在x=0處有階數為1的解。若b₀+mb₁=0 ，則f=0在x=0處有階數為2（或更高）的解，且y=mx及b₀x+b₁y=0都會是曲線的切線。此時，若if c₀+2mc₁+c₂m²不為零，則曲線在和y=mx接觸處有二重点（point of double）。若x², c₀+2mc₁+c₂m²的係數為零，但x³係數不為零，則原點是曲線的拐点。若x²和x³的係數都是零，則原點稱為曲線的波动点（point of undulation）。上述分析可以應用在曲線上的任意點，只要平移座標軸，使要分析的點變成原點即可^[1]。

二重點

 

三個帕斯卡蜗线，左圖是沒有二重點的帕斯卡蜗线，中間的蜗线（心脏线）在原點處有一個尖點，右邊的蜗线在原點有一個叉点，也就是曲線在該位置有二條切線

若在上述說明中，b₀和b₁都是零，但至少c₀、c₁和c₂中有一個不為零，則原點即為曲線的二重点。再令y=mx，則f可寫成

${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,}$ 

二重點可以依以下方程的解來分類： c₀+2mc₁+m²c₂=0.

叉點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0有二個m的實根，也就是c₀c₂−c₁²<0，則原點為叉點。曲線在叉點和自身相交，二條切線對應c₀+2mc₁+m²c₂=0的二個解。原點為函數f的鞍點。

孤立點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0沒有m的實根，也就是c₀c₂−c₁²>0，則原點為孤立點。在實數平面上，原點為曲線的一個孤点，不過若當做複數曲線來考慮，c₀+2mc₁+m²c₂=0的二部份的解之間有複數的切線相連。此情形下函數在原點處有极值。

尖點

若c₀+2mc₁+m²c₂=0有一個m的二重根，也就是c₀c₂−c₁²=0，原點稱為尖點。此時曲線在原點變動方向，產生一個尖銳的圖形。曲線在原點處有單一的切線，但是可視為二條恰好重合的切線。

進一步的分類

node一詞是用來表示叉點或是孤立點，也就是不為尖點的二重點。曲線中node數量及尖點數量是二個曲線的不變量，在普吕克公式（英语：Plücker formula）中有用到。

若c₀+2mc₁+m²c₂=0的一個解也是d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃=0的解，則曲線對應的分支在原點為拐點，此時原點稱為flecnode。若兩條切線都有此性質，則c₀+2mc₁+m²c₂為d₀+3md₁+3m²d₂+m³d₃的因式，原點稱為biflecnode^[2]。

三重點

 

一個有三重點的曲線

若f中所有小於k次方的係數都為零，且至少有一項k次方的係數不為0，此曲線即有k階的多重點。一般而言曲線在原點處有k條切線，不過有些切線可能會是虛數^[3]。

以參數式表示的曲線

R²平面中的參數曲線定義為由R→R²函數 g的像，函數g(t) = (g₁(t),g₂(t))。其中的奇點為滿足以下條件的點

${\displaystyle {dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.}$ 

 

尖點

許多曲線可以用方程式來定義，也可以用參數方程定義。代數曲線x³−y² = 0會有一尖點，若改用參數式g(t) = (t²,t³)，尖點仍然存在。

不過有時奇點的數量可能會隨定義方式而不同。例如y²−x³−x² = 0在原點有一奇點，為叉點，但若用參數式g(t) = (t²−1,t(t²−1))，因為g′(t) 在任意位置都不為零，因此同一曲線的參數式中，不存在奇點。

在將曲線用參數方程表示時，參數的選擇會影響一些相關的分析。例如直線y = 0，本身不存在奇點，若用參數方程g(t) = (t,0)，也沒有奇，但若用參數方程g(t) = (t³,0)表示，在原點處就會有一個奇點。因此參數式奇點的專業用語應該稱為光滑映射的奇點（singular points of a smooth mapping）比較合適。

哈斯勒·惠特尼有一定理提到^[4][5]

任意Rⁿ內的闭集都可以表示為某一光滑函數f:Rⁿ→R，其方程f⁻¹(0)的解集合。

上述的定義可以延伸到用隱函數定義的曲線，定義方式為f⁻¹(0)的解集合，而f為光滑函數，因此不一定只考慮代數簇，可以延伸到更高維度的曲線。

任何參數化的曲線可以定義為隱函數的曲線，曲線奇点的分類也會在代數簇上的奇點（英语：singular point of an algebraic variety）的分類中加以研究。

奇點的種類

以下是一些可能的奇點：

• 單獨的一個點：x²+y² = 0，屬於孤立点
• 二條線交於一點：x²−y² = 0，屬於叉点
• 尖點：x³−y² = 0
• rhamphoid尖點：x⁵−y² = 0.

參考資料

1. Hilton Chapter II §1
2. Hilton Chapter II §2
3. Hilton Chapter II §3
4. Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
5. Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

• Hilton, Harold. Chapter II: Singular Points. Plane Algebraic Curves. Oxford. 1920. 

相關條目

• 奇點理論（英语：Singularity theory）
• 奇点 (数学)
• 莫尔斯理论