拐点

提示：此条目的主题不是驻点、滞点或临界点。

拐點（英語：Inflection point）或稱反曲点，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

y=x³的函數圖形，原點是其拐點

反正切函數的拐點

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的必要条件

拐点的必要条件：设${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle (a,b)}$ 内二阶可导，${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ，若${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 是曲线${\displaystyle y=f(x)}$ 的一个拐点，则${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ 。 比如，${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ ，有${\displaystyle f''(0)=0}$ ，但是0两侧全是凸，所以0不是函数${\displaystyle f(x)=x^{4}}$ 的拐点。

拐点的充分条件：设${\displaystyle f(x)}$ 在${\displaystyle (a,b)}$ 内二阶可导，${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ ，若在${\displaystyle x_{0}}$ 两侧附近${\displaystyle f''(x)}$ 异号，则点${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 为曲线的拐点。否则（即${\displaystyle f''(x_{0})}$ 保持同号），${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ 不是拐点。

分類

拐點可以根據${\displaystyle f'(x)}$ 為零或不為零，進行分類：

• 如果${\displaystyle f'(x)}$ 為零，此點為拐點的驻点，簡稱為鞍點。
• 如果${\displaystyle f'(x)}$ 不為零，此點為拐點的非驻点。

例如：${\displaystyle y=x^{3}}$ 的點${\displaystyle (0,0)}$ 是一個鞍點，切線為${\displaystyle x}$ 軸，切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點

設${\displaystyle C}$ 為域${\displaystyle F}$ 上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點${\displaystyle P\in C(F)}$ ，使得該點切線${\displaystyle L_{P}}$ 與${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle P}$ 點的相交重數${\displaystyle \geq 3}$ 。

注意到一條曲線與${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle P}$ 點相切的充要條件是相交重數${\displaystyle \geq 2}$ 。當${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ 時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

参见

• 驻点
• 鞍点
• 极值

文獻

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.