隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理是一個(數學上的)工具用來回答下面的問題：以隐函数表示的多變量函數，這函數的變量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在这点有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数：

${\displaystyle y=h(x)}$

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

舉一個簡單例子：假設兩個變數 x, y 滿足隱函數 x² + y² − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形？

答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。

例子

 

讓函数${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ，則单位圆就可以写成满足方程式${\displaystyle f(x,y)-1=0}$ 的点的集合。在圆上的点A附近，y 可以表示成 x 的函数： ${\displaystyle y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ ，但點B就不行（因為在點B附近，一個 x 會對應到兩個 y 的值）。

有函數 ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ，那么方程式 ${\displaystyle f(x,y)-1=0}$  的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 ${\displaystyle y=h(x)}$  的形式的，因为每个${\displaystyle x\in (-1,1),}$ 都有两个${\displaystyle y}$ 的值与之对应，即${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。

然而在某些點附近，局部地用 ${\displaystyle x}$  來表示 ${\displaystyle y}$  是可能的。比如给定圆上一点 ${\displaystyle (x,y)}$ ，如果 ${\displaystyle y>0}$ ，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 ${\displaystyle y}$  可以写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数：${\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。如果 ${\displaystyle y<0}$ ，在圓的下半部分 ${\displaystyle y}$  也可以写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数：${\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$ 。

但是，在点 ${\displaystyle (\pm 1,0)}$  的附近，${\displaystyle y}$  无法写成关于 ${\displaystyle x}$  的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 ${\displaystyle x}$ ，都有两个 ${\displaystyle y}$  的值与之对应，這種情況下 ${\displaystyle y}$  無法寫成 ${\displaystyle x}$  的函數。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设 f : R^n+m → R^m 为一个连续可微函数。这里R^n+m 被看作是两个空间的直积： Rⁿ×R^m，于是 R^n+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: Rⁿ → R^m ，讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。

固定一点(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) 使得 f(a, b) = 0，我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的鄰域 U ⊆ Rⁿ 和 b 的邻域 V ⊆ R^m 以及函數：h : U → V，使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是說：

${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}}$ 。

要保證这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作：

${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]}$ 

其中的矩阵 ${\displaystyle X}$  是函數 f 关于變數 x 的偏微分，而矩陣 ${\displaystyle Y}$  是 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果${\displaystyle Y}$ 是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的敘述就是：

设 f : R^n+m → R^m 为连续可微函数，讓 R^n+m 中的坐标记为 (x, y), (x, y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m)。给定一点  (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m) = (a,b) 使得   f(a,b)=0（0 ∈ R^m，是個零向量）。如果 m×m 矩陣 [(∂f_i / ∂y_j)(a, b) 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 ${\displaystyle Y}$ ），那么存在 a 的邻域 U ⊆ Rⁿ、b 的邻域 V ⊆ R^m 以及唯一的连续可微函数 h:U → V，使得

${\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }$ 

且

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,}$  對所有的 ${\displaystyle \mathbf {x} \in U}$ 。

一般情形

设${\displaystyle E_{1}}$ 、${\displaystyle E_{2}}$ 和${\displaystyle F}$ 是三个巴拿赫空间，而${\displaystyle U}$ 、${\displaystyle V}$ 分别是${\displaystyle E_{1}}$ 、${\displaystyle E_{2}}$ 上的两个开集。设函数：

${\displaystyle f:U\times V\rightarrow F}$ 

是一個${\displaystyle k~(k\geq 1)}$ 階可微函數（見Fréchet導數（英语：Fréchet derivative）），并且对于${\displaystyle E_{1}\times E_{2}}$ 中的一点${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ，满足：

• ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ 
• 映射 ${\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)}$  是一個從${\displaystyle E_{2}}$ 到${\displaystyle F}$ 的同構

那么有如下结论：

存在${\displaystyle x_{0}}$ 的邻域 ${\displaystyle U_{0}\subset U}$  、 ${\displaystyle y_{0}}$ 的邻域 ${\displaystyle V_{0}\subset V}$  ，以及 ${\displaystyle k}$  階Fréchet可微函數${\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}}$ ，使得：

对任意${\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}}$ ，只要${\displaystyle f(x,y)=0}$ ，就有${\displaystyle y=\varphi (x)}$ 。

参见

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

参考来源

• （英文）Arne Hallam. (PDF). Iowa State University. [2009-11-05]. （原始内容 (PDF)存档于2021-05-07）. 
• Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984. 

• Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

• Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2. 

• Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002. 

• Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 

• Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

• Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117. 

• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.