环 (代数)

环（Ring）是由任意集合 R 和定义于其上的两种二元运算（记作「${\textstyle +}$」和「${\textstyle \cdot }$」，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。

环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「⋅」（注意我们这里所说的「+」與「⋅」一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

定义

${\displaystyle R}$  為集合， ${\displaystyle +:R\times R\to R}$  和 ${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$  為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 ${\textstyle +(a,\,b)}$  和 ${\textstyle \cdot (a,\,b)}$  分別簡記為 ${\displaystyle a+b}$  和 ${\textstyle a\cdot b}$  。

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$  被稱為環，若它滿足：

1. ${\displaystyle (R\,,+)}$ 為交換群 ，即：
   • 結合律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有 ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ 
   • 單位元：存在 ${\displaystyle i\in R}$  ，對所有的 ${\displaystyle r\in R}$  有 ${\displaystyle i+r=r+i=r}$  （可由上面的性質證明這樣的 ${\displaystyle i}$  是唯一的， 這樣的 ${\displaystyle i}$  稱為加法單位元）
   • 反元素：對所有的 ${\displaystyle r\in R}$  存在 ${\displaystyle r^{\prime }\in R}$  使 ${\displaystyle r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0}$  （可以由上面的性質證明這樣的 ${\displaystyle r^{\prime }}$  是唯一的，通常簡記為 ${\displaystyle r^{-1}}$  並稱為 ${\displaystyle r}$  的加法反元素)
   • 交換律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b\in R}$  有 ${\displaystyle a+b=b+a}$ 
2. ${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 為半群，即：
   • 結合律：對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有 ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ 
3. 乘法對于加法满足分配律，即對所有的 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in R}$  有：
   • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$ 
   • ${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)}$ 

其中 ${\displaystyle +}$  常會被暱稱為加法；類似的 ${\displaystyle \cdot }$  會被暱稱為乘法，因為取 ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$  （實數系）， ${\displaystyle +}$  為普通的實數加法且 ${\displaystyle \cdot }$  為普通的實數乘法的話，${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$ 顯然為環。而此時加法單位元顯然為實數 ${\displaystyle 0}$  ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元 ${\displaystyle i}$  簡寫為 ${\displaystyle 0}$  。

所以慣例上仿造實數乘法把 ${\displaystyle a\cdot b}$  簡寫為 ${\displaystyle ab}$  ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 ${\displaystyle a+bc}$  是 ${\displaystyle a+(b\cdot c)}$  的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 ${\displaystyle a+b^{-1}}$  簡寫為 ${\displaystyle a-b}$  。

定義的分歧

在1960年代以前，多數抽象代数的書籍並不將乘法單位元列入環的定義；有些不要求乘法單位元的作者，會將包含乘法單位元的環稱為「單位環」；反之，有些要求乘法單位元的作者，會將不含乘法單位元的環稱為「偽環」。

基本性质

${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$  為環，則對所有 ${\displaystyle a,\,b\in R}$  有：

I. ${\displaystyle a0=0a=0}$ 

證明：

1. ${\displaystyle 0=0+0}$ （單位元）
2. ${\displaystyle a0=a(0+0)}$ （式1等號兩邊於左側同乘 ${\displaystyle a}$ ）
3. ${\displaystyle a(0+0)=a0+a0}$ （分配律）
4. ${\displaystyle a0+a0=a0}$ （式2, 式3）
5. ${\displaystyle a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}}$ （式4等號兩邊於右側加 ${\displaystyle {(a0)}^{-1}}$ ）
6. ${\displaystyle a0=0}$ （以反元素化簡式5）

可調換 ${\displaystyle a}$  和 ${\displaystyle 0}$  的順序， 仿上證明 ${\displaystyle 0a=0}$  。 ${\displaystyle \Box }$ 

II. ${\displaystyle a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}}$ 

證明：

1. ${\displaystyle a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b}$  （加法交換律、分配律、加法逆元素）
2. ${\displaystyle 0b=0=a^{-1}b+ab}$  （上面的性質I）

故 ${\displaystyle a^{-1}b}$  的確是 ${\displaystyle ab}$  的加法反元素，仿上可證明 ${\displaystyle ab^{-1}}$  也是 ${\displaystyle ab}$  的加法反元素。 ${\displaystyle \Box }$ 

环的相关概念

特殊的环

幺环

若环${\displaystyle R}$ 中，${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 构成幺半群，即${\textstyle \exists 1\in R}$ ，使得${\textstyle \forall a\in R}$ ，有${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$ ，则称${\displaystyle R}$ 为幺环。此时幺半群${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 的幺元${\displaystyle 1}$ ，亦称为环${\displaystyle R}$ 的幺元。

交换环

若环${\displaystyle R}$ 中，${\textstyle (R\,,\,\cdot )}$ 还满足交换律，从而构成交换半群，即${\textstyle \forall a,\,b\in R}$ ，有${\displaystyle ab=ba}$ ，则称${\displaystyle R}$ 为交换环。

无零因子环

若${\displaystyle R}$ 中没有非${\displaystyle 0}$ 的零因子，则称${\displaystyle R}$ 为无零因子环。

• 此定义等价于以下任何一条：
  • ${\displaystyle R\backslash \{0\}}$ 对乘法形成半群；
  • ${\displaystyle R\backslash \{0\}}$ 对乘法封闭；
  • ${\displaystyle R}$ 中非${\displaystyle 0}$ 元素的乘积非${\displaystyle 0}$ ；

整环

无零因子的交换幺环称为整环。

例：整数环，多项式环

唯一分解环

若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.

除环

若环${\displaystyle R}$ 是幺环，且${\displaystyle R\backslash \{0\}}$ 对${\displaystyle R}$ 上的乘法形成一个群，即${\textstyle \forall a\in R\backslash \{0\}}$ ，${\displaystyle \exists a^{-1}\in R\backslash \{0\}}$ ，使得${\displaystyle a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1}$ 。则称${\displaystyle R}$ 为除环。

• 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
• 交换的除环是體。

主理想环

每个理想都是主理想的整环称为主理想环。

单环

若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。

商环

質环

例子

• 集环：非空集的集合${\displaystyle R}$ 构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
  • ${\displaystyle R}$ 对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  • ${\displaystyle R}$ 对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  • ${\displaystyle R}$ 对集合的交，差以及无交并运算封闭。

这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。

• 整数环是一个典型的交换且含单位环。
• 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
• 所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
• n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。

环的理想

主条目：理想

考虑环${\displaystyle (R\,,+\,,\,\cdot \,)}$ ，依环的定义知${\displaystyle (R\,,+)}$ 是阿贝尔群。集合${\displaystyle I\subseteq R}$ ，考虑以下条件：

1. ${\displaystyle (I\,,+)}$ 构成${\displaystyle (R\,,+)}$ 的子群。
2. ${\displaystyle \forall i\in I\,,r\in R}$ ，有${\displaystyle i\cdot r\in I}$ 。
3. ${\displaystyle \forall i\in I\,,r\in R}$ ，有${\displaystyle r\cdot i\in I}$ 。

若${\displaystyle I}$ 满足条件1、2则称${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的右理想；若${\displaystyle I}$ 满足条件1、3则称${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的左理想；若${\displaystyle I}$ 满足条件1、2、3，即${\displaystyle I}$ 既是${\displaystyle R}$ 的右理想，也是${\displaystyle R}$ 的左理想，则称${\displaystyle I}$ 为${\displaystyle R}$ 的双边理想，简称理想。

示例

• 整数环的理想：整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 只有形如${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \}}$ 的理想。

基本性质

• 在环中，（左／右／双边）理想的和与交仍然是（左／右／双边）理想。
• 在除环中，（左／右）理想只有平凡（左／右）理想。
• 对于环R的两个理想${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ ，记${\displaystyle AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}}$ 。则由定义易知：
  1. 若${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle R}$ 的左理想，则${\displaystyle AB}$ 是${\displaystyle R}$ 的左理想；
  2. 若${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle R}$ 的右理想，则${\displaystyle AB}$ 是${\displaystyle R}$ 的右理想；
  3. 若${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle R}$ 的左理想，${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle R}$ 的右理想，则${\displaystyle AB}$ 是${\displaystyle R}$ 的双边理想。

相关概念

真（左／右／双边）理想

若${\displaystyle R}$ 的（左／右／双边）理想I满足：${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的真子集，称${\displaystyle I}$ 为${\displaystyle R}$ 的真（左／右／双边）理想。

极大（左／右／双边）理想

环${\displaystyle R}$ 及其真（左／右／双边）理想${\displaystyle I}$ ，称${\displaystyle I}$ 为${\displaystyle R}$ 的极大（左／右／双边）理想，若不存在${\displaystyle R}$ 的真（左／右／双边）理想${\displaystyle J}$ ，使得${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle J}$ 的真子集。

• 若${\displaystyle I}$ 是极大（左／右）理想，又是双边理想，则${\displaystyle I}$ 是极大理想。
• 极大双边理想不一定是极大（左／右）理想。

生成理想

环${\displaystyle R}$ ，${\displaystyle A\subseteq R}$ ，定义${\displaystyle \langle A\rangle =RA+AR+RAR+ZA}$ ，则易知：

• ${\displaystyle \langle A\rangle }$ 是环${\displaystyle R}$ 的理想，并且${\displaystyle \langle A\rangle }$ 是${\displaystyle R}$ 中所有包含子集${\displaystyle A}$ 的理想的交，即${\displaystyle \langle A\rangle }$ 是${\displaystyle R}$ 中包含子集${\displaystyle A}$ 的最小理想。

若${\displaystyle \langle A\rangle }$ 为由子集${\displaystyle A}$ 生成的理想，称${\displaystyle A}$ 为${\displaystyle \langle A\rangle }$ 的生成元集。当${\displaystyle A}$ 是有限集时，称${\displaystyle \langle A\rangle }$ 为${\displaystyle R}$ 的有限生成理想。

• 下面是生成理想的几种特殊情况：
  1. 当${\displaystyle R}$ 是交换环时，${\displaystyle \langle A\rangle =RA+ZA}$ 
  2. 当${\displaystyle R}$ 是幺环时，${\displaystyle \langle A\rangle =RAR}$ 
  3. 当${\displaystyle R}$ 是交换幺环时，${\displaystyle \langle A\rangle =RA}$ 
• 同一个理想，其生成元集可能不唯一。

主理想

由环${\displaystyle R}$ 中单个元素生成的理想称为${\displaystyle R}$ 的主理想。即，设${\displaystyle a\in R}$ ，则${\displaystyle \langle \{a\}\rangle }$ 称为${\displaystyle R}$ 的主理想。

素理想

真理想${\displaystyle I}$ 被称为${\displaystyle R}$ 的素理想，若${\displaystyle \forall }$ 理想${\displaystyle A,B\subseteq R,\ AB\subseteq I}$ ，则${\displaystyle A\subseteq I}$ 或${\displaystyle B\subseteq I}$ 。

素环

若环${\displaystyle R}$ 的零理想是素理想，则称${\displaystyle R}$ 是素环或质环。无零因子环是素环。在交换环${\displaystyle R}$ 中，真理想${\displaystyle I}$ 是素理想的充分且必要条件是：${\displaystyle R/I}$ 是素环.

半素理想

环${\displaystyle R}$ 的真理想${\displaystyle I}$ ，若${\displaystyle \forall }$ 理想${\displaystyle A}$ ，${\displaystyle A^{2}\subseteq I\Rightarrow A\subseteq I}$ ，则称${\displaystyle I}$ 是环${\displaystyle R}$ 的半素理想。

• 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

• 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想，称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不尽然，即存在不是除环的单环。
• 定理1：在整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中，由${\textstyle p}$ 生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：${\textstyle p}$ 是素数。
• 定理2：设${\displaystyle R}$ 是有单位元${\displaystyle 1}$ 的交换环。理想${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的极大理想的充分且必要条件是：商环${\displaystyle R/I}$ 是域。
• 定理3：设${\displaystyle I}$ 是环${\displaystyle R}$ 的左理想，则${\displaystyle I}$ 是${\displaystyle R}$ 的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在${\displaystyle I}$ 中的左理想J都有${\displaystyle I+J=R}$ 。

有关环的其它概念

• 零因子 （zero divisor）：
  主条目：零因子

设${\displaystyle b}$ 是环中的非零元素，如果${\displaystyle a\cdot b=0}$ ，称${\displaystyle a}$ 为左零因子；类似地可以定义右零因子。左零因子和右零因子通称零因子。