豪斯霍尔德变换, householder, transformation, 或譯, 豪斯霍德轉換, 又称初等反射, elementary, reflection, 最初由a, aitken, 在1932年提出, 阿尔斯通, 斯科特, 豪斯霍尔德, 英语, alston, scott, householder, 在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义, 这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像, 是一种线性变换, 其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵, 在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子, 超平面的. 豪斯霍尔德变换 Householder transformation 或譯 豪斯霍德轉換 1 又称初等反射 Elementary reflection 最初由A C Aitken 在1932年提出 2 阿尔斯通 斯科特 豪斯霍尔德 英语 Alston Scott Householder 在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义 3 这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像 是一种线性变换 其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵 在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子 超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量 目录 1 定义 2 性质 3 应用 4 参考文献 5 参见 6 外部链接定义 编辑 nbsp 豪斯霍尔德变换示意图 向量x在豪斯霍尔德向量v的超平面v displaystyle mathbf v perp nbsp 上的镜像是Hx H是豪斯霍尔德矩阵 如果 v displaystyle v nbsp 给出为单位向量而 I displaystyle I nbsp 是单位矩阵 则描述上述线性变换的是 豪斯霍尔德矩阵 v displaystyle v nbsp 表示向量 v displaystyle v nbsp 的共轭转置 H I 2 v v displaystyle H I 2vv nbsp 性质 编辑豪斯霍尔德矩阵H displaystyle H nbsp 有如下性质 它是對稱矩陣 即 H T H displaystyle H T H nbsp 它是正交矩阵 即 H T H 1 displaystyle H T H 1 nbsp 它是埃爾米特矩陣 即 H H displaystyle H H nbsp 它是对合的 即 H 2 I displaystyle H 2 I nbsp 进一步的 H displaystyle H nbsp 实际上按上面描述的那样反射了点 X displaystyle X nbsp 用它的位置向量 x displaystyle x nbsp 来识别 因为 H x x 2 v v x x 2 v x v displaystyle Hx x 2vv x x 2 langle v x rangle v nbsp 这里的 displaystyle langle rangle nbsp 表示內積 注意 v x displaystyle langle v x rangle nbsp 等于从 X 到超平面的距离 应用 编辑豪斯霍尔德变换可以将向量的某些元素置零 同时保持该向量的范数不变 例如 将非零列向量x x 1 x n T displaystyle mathbf x x 1 ldots x n T nbsp 变换为单位基向量e 1 0 0 T displaystyle mathbf e 1 0 ldots 0 T nbsp 乘以一个常数的豪斯霍尔德矩阵为 H I 2 v v v v H displaystyle mathbf H mathbf I frac 2 langle mathbf v mathbf v rangle mathbf vv H nbsp 其中豪斯霍尔德向量v displaystyle mathbf v nbsp 满足 v x s g n x 1 x 2 e 1 displaystyle mathbf v mathbf x rm sgn x 1 Vert x Vert 2 mathbf e 1 nbsp Dubrulle 在2000年给出了将豪斯霍尔德变换应用于生成一个一般的稀疏向量的一个数值稳定的算法 4 对一个矩阵的各个列向量逐一进行相应的豪斯霍尔德变换 可以将这个矩阵变换为上海森伯格矩阵 上三角矩阵等形式 5 后者就是QR分解的豪斯霍尔德算法 参考文献 编辑 胡家彰 MIMO通訊系統之低複雜度天線選擇 页面存档备份 存于互联网档案馆 H W Turnbull A C Aitken An Introduction to the Theory of Canonical Matrices Blackie London Glasgrow 1932 Alston S Householder Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix Journal ACM 5 4 1958 339 342 DOI 10 1145 320941 320947 A A Dubrulle Householder Transformations Revisited SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 2001 David D Morrison Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix Journal ACM 7 2 1960 185 186 DOI 10 1145 321021 321030参见 编辑线性变换 数值计算 Givens旋转 QR分解外部链接 编辑Householder s Method Householder Transformations 取自 https zh wikipedia org w index php title 豪斯霍尔德变换 amp oldid 63395645, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,