位置向量

位置向量（position vector，location vector，radius vector）又稱向徑、矢徑^[1]、位矢^[2]，是几何学中用来表示空间裡某质点或物体相对于某参考点的“几何位置”的向量。

在三维空间中的曲线。位置向量r由标量t来参数化。在r = a时红色直线是这个曲线在此点的切线，垂直于蓝色平面。

設定一坐标系，參考这坐标系，质点或物体的坐标，就是相对于這坐标系的原点的位置向量。在运动学裏，位置向量是描述质点运动的基本参量，是一个向量：有大小，也有方向。

位置向量

从坐标原点指向质点所在位置的向量称为位置向量，亦稱位置矢量，简称位矢。

选定参考系，质点的位置由原点到质点的位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$ 表示，随著时间${\displaystyle t}$ 的演化，位置向量${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ 可以描述质点的运动。在力学裏，位置向量常被用来跟踪质点、粒子、或刚体的运动。

微分几何用位置向量函数来描述连续性可微分曲线，其独立参数可以是时间，角度，或曲线径长。

不同坐标系中的位置向量

 

在三维直角坐标系中的位置向量P

在线性代数裏，位置向量可以表達为基向量的线性组合。

二维坐标系

• 直角坐标系：${\displaystyle \mathbf {r} =x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}}$ 
• 极坐标系：${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$ 

三维坐标系

• 直角坐标系：${\displaystyle \mathbf {r} =x{\hat {\mathbf {i} }}+y{\hat {\mathbf {j} }}+z{\hat {\mathbf {k} }}}$ 
• 圓柱坐标系：${\displaystyle \mathbf {r} =\rho {\hat {\boldsymbol {\rho }}}\ +z{\hat {\mathbf {z} }}}$ 
• 球坐标系：${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$ 

位置向量的导数

 

经典质点的运动学量：质量 m，位置 r，速度 v，加速度 a。

位置向量的改变称为位移，就是质点移动后的位置向量减去移动前的位置向量。位置向量${\displaystyle \mathbf {r} }$ 對於时间${\displaystyle t}$ 的的导数称为速度向量${\displaystyle \mathbf {v} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {v} ={\mathrm {d} \mathbf {r} \over \mathrm {d} t}}$ 

位置向量對於时间的二阶导数称为加速度向量${\displaystyle \mathbf {a} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {a} ={\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} \over \mathrm {d} t^{2}}}$ 

参考

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/7019771245a05c1ea623fa0f921cc873/
2. https://www.termonline.cn/word/90219/1#s1

參閱

• 仿射空間
• 曲線
• 參數曲面（parametric surface）