设 V 是一个实向量空间，b1 和 b2 是 V 的两个有序基。线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换A : V → V，将 b1 变为 b2。如果 A 的行列式为正，则称基 b1 与 b2 有相同定向（或一致定向）；不然它们有相反的定向。有相同定向的性质在 V 的所有有序基上定义了一个等价关系。如果 V 非零，恰好存在两个由这个等价关系决定的等价类。V 上一个定向是将其中一类置为 +1 而另一类为 -1 的一个规定。
每个有序基在一个等价类之中。故选取 V 的一个有序基决定了一个定向：选取的这个基的定向类规定为正的。例如：Rn 上的标准基在 Rn 上给出了一个标准定向。V 与 Rn 之间选取一个线性同构可给出 V 的一个定向。
对任意 n-维实向量空间 V，我们可构造 V 的 k-次外幂，记作 ΛkV。这是一个维数为 (n,k) 的向量空间。故向量空间 ΛnV （称为最高外幂）的维数为 1。即 ΛnV 就是实直线。这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的。一个定向就是这样一个选取。任何非零线性形式 ω on ΛnV 决定了 V 的一个定向，当 ω(x) > 0 时规定 x 是正定向的。为了与基本的看法联系起来，我们说正定向基是那些 ω 取正数的（因为 ω 是一个 n-形式，我们可在 n 个向量的有序基上取值，给出 R 中一个元素）。形式 ω 称为一个定向形式（orientation form）。如果 {ei} 是 V 先给定的基而 {ei*} 是对偶基，则给出标准定向的定向形式是 e1*∧e2*∧…∧en*。
这与行列式观点的联系是：一个自同构 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用。
李群论
设 B 是 V 的所有有序基集合。则一般线性群 GL(V) 自由传递作用在 B 上（花哨的语言，B 是一个 GL(V)-torsor）。这意味着作为一个流形B （非典范地）同构于 GL(V)。注意到群 GL(V) 不是连通的，而有两个连通分支，对于于变换的行列式的正负号（除了 GL0，这是平凡群故只有一个连通分支；这对应于一个零维向量空间的典范定向）。GL(V) 的单位分支记作 GL+(V)，由所有正行列式的变换组成。GL+(V) 在 B 上的作用不是传递的：有两个轨道，分别对应于 B 的连通分支。这两个轨道恰是上面所说的等价类。因为 B 没有特定的元素（即一个特别的基），故没有自然选取哪个分支是正的。将其与 GL(V) 对比，后者有一个特别的分支：单位分支。B 与 GL(V) 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基，从而决定了一个定向。
我们也可以讨论流形上的定向。n-维可微流形 M 上每一点 p 有一个切空间TpM，这是一个 n-维实向量空间。每个这样的向量空间可规定一个定向。但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点“光滑变化”。由于某些拓撲限制，僅在某些情形才有可能。若在切空间上存在一个光滑定向，則該流形称为可定向的。关于流形的定向，参见可定向性一文。
定向, 向量空間, 另见定向, 几何, 数学中, 实向量空间的一个定向, orientation, 是对哪些有序基是, 定向以及哪些是, 定向的一个选取, 在三维欧几里得空间中, 两个可能的基本定向分别称为右手系与左手系, 但是定向的选取与基的手征性是独立的, 尽管右手基典型地选为正定向, 但它们也可规定为负定向, 目录, 定义, 零维, 其它观点, 多重线性代数, 李群论, 流形上的定向, 相关条目定义, 编辑设, 是一个实向量空间, 的两个有序基, 线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换, 变为, 如果,. 另见定向 几何 数学中 实向量空间的一个定向 Orientation 是对哪些有序基是 正 定向以及哪些是 负 定向的一个选取 在三维欧几里得空间中 两个可能的基本定向分别称为右手系与左手系 但是定向的选取与基的手征性是独立的 尽管右手基典型地选为正定向 但它们也可规定为负定向 目录 1 定义 1 1 零维 2 其它观点 2 1 多重线性代数 2 2 李群论 3 流形上的定向 4 相关条目定义 编辑设 V 是一个实向量空间 b1 和 b2 是 V 的两个有序基 线性代数中一个标准结论说存在惟一一个线性变换 A V V 将 b1 变为 b2 如果 A 的行列式为正 则称基 b1 与 b2 有相同定向 或一致定向 不然它们有相反的定向 有相同定向的性质在 V 的所有有序基上定义了一个等价关系 如果 V 非零 恰好存在两个由这个等价关系决定的等价类 V 上一个定向是将其中一类置为 1 而另一类为 1 的一个规定 每个有序基在一个等价类之中 故选取 V 的一个有序基决定了一个定向 选取的这个基的定向类规定为正的 例如 Rn 上的标准基在 Rn 上给出了一个标准定向 V 与 Rn 之间选取一个线性同构可给出 V 的一个定向 基中元素的顺序是关键 顺序不同的两个基可差某个置换 它们可能有相同或相反的定向 取决于这个置换的符号 1 这是因为置换矩阵的行列式等于相应置换的符号 零维 编辑 上面定义的定向概念对零维向量空间只有一个定向 因为空矩阵的行列式是 1 但是对一个点规定不同的定向可能是有用的 例如 定向一维流形的边界 定向的另一个与维数无关的定义如下 V 的一个定向是从 V 的有序基集合到集合 1 displaystyle pm 1 的映射 使得在正行列式基变更下不变而在负行列式基变更下给变符号 关于同态 G L n 1 displaystyle GL n to pm 1 等变 零维向量空间的有序基有一个元素 空集 从而从这个集合到 1 displaystyle pm 1 有两个映射 一个微妙之处在于零维向量空间是自然定向的 所以我们可以谈论一个定向是正的 与典范定向相同 或负的 不同 一个应用是将微积分基本定理理解为斯托克斯定理的一个特例 对此的两种看法是 零维向量空间是一个点 存在惟一映射从一个点到一个点 所以每个零维向量空间自然与 R 0 displaystyle R 0 等价 从而是定向的 一个向量空间的 0 次外幂是底域 K displaystyle K 在这里是 R 1 displaystyle R 1 它有一个定向 由标准基给出 其它观点 编辑多重线性代数 编辑 对任意 n 维实向量空间 V 我们可构造 V 的 k 次外幂 记作 LkV 这是一个维数为 n k 的向量空间 故向量空间 LnV 称为最高外幂 的维数为 1 即 LnV 就是实直线 这条直线上没有先天的选取哪个方向是正的 一个定向就是这样一个选取 任何非零线性形式 w on LnV 决定了 V 的一个定向 当 w x gt 0 时规定 x 是正定向的 为了与基本的看法联系起来 我们说正定向基是那些 w 取正数的 因为 w 是一个 n 形式 我们可在 n 个向量的有序基上取值 给出 R 中一个元素 形式 w 称为一个定向形式 orientation form 如果 ei 是 V 先给定的基而 ei 是对偶基 则给出标准定向的定向形式是 e1 e2 en 这与行列式观点的联系是 一个自同构 T V V displaystyle T colon V to V 的行列式可解释为在最高外幂上的诱导作用 李群论 编辑 设 B 是 V 的所有有序基集合 则一般线性群 GL V 自由传递作用在 B 上 花哨的语言 B 是一个 GL V torsor 这意味着作为一个流形 B 非典范地 同构于 GL V 注意到群 GL V 不是连通的 而有两个连通分支 对于于变换的行列式的正负号 除了 GL0 这是平凡群故只有一个连通分支 这对应于一个零维向量空间的典范定向 GL V 的单位分支记作 GL V 由所有正行列式的变换组成 GL V 在 B 上的作用不是传递的 有两个轨道 分别对应于 B 的连通分支 这两个轨道恰是上面所说的等价类 因为 B 没有特定的元素 即一个特别的基 故没有自然选取哪个分支是正的 将其与 GL V 对比 后者有一个特别的分支 单位分支 B 与 GL V 之间选取一个特别的同胚等价于选取一个特别的基 从而决定了一个定向 更形式地 p 0 G L V G L V G L V 1 displaystyle pi 0 GL V GL V GL V pm 1 V displaystyle V 中 n 标架的斯蒂弗尔流形 Stiefel manifold 英语 Stiefel manifold 是一个 G L V displaystyle GL V torsor 所以 V n V G L V displaystyle V n V GL V 是 1 displaystyle pm 1 上一个 torsor 即它是两个点 选取其中一个便是一个定向 流形上的定向 编辑主条目 可定向性 我们也可以讨论流形上的定向 n 维可微流形 M 上每一点 p 有一个切空间 TpM 这是一个 n 维实向量空间 每个这样的向量空间可规定一个定向 但是我们想知道是否可以选取定向使得它们从点到点 光滑变化 由于某些拓撲限制 僅在某些情形才有可能 若在切空间上存在一个光滑定向 則該流形称为可定向的 关于流形的定向 参见可定向性一文 相关条目 编辑定向 幾何 旋转表示 手征性 置换的奇偶性 笛卡儿坐标系 取自 https zh wikipedia org w index php title 定向 向量空間 amp oldid 74996302, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
