餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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定義

對一個 ${\displaystyle n\times n}$  矩陣 ${\displaystyle A}$ ，在 ${\displaystyle (i,j)}$  的子行列式（余子式） ${\displaystyle M_{ij}}$  定義為刪掉 ${\displaystyle A}$  的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式。令 ${\displaystyle C_{ij}:=(-1)^{i+j}M_{ij}}$ ，稱為 ${\displaystyle A}$  在 ${\displaystyle (i,j)}$  的餘因子（代数余子式）。矩陣 ${\displaystyle \mathrm {cof} (A):=(C_{ij})_{i,j}}$  稱作 ${\displaystyle A}$  的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 ${\displaystyle \mathrm {adj} (A)}$ 。

範例

考慮三階方陣

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}$ 

今將計算餘因子 ${\displaystyle C_{23}}$ 。子行列式 ${\displaystyle M_{23}}$  是下述矩陣（在 ${\displaystyle B}$  中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式：

${\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}}$ 

根據定義得到

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}$ 

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}$ 

${\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.}$ 

餘因子分解

對一 ${\displaystyle n\times n}$  矩陣：

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

其行列式 ${\displaystyle \det A}$  可以用餘因子表示：

${\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}}$ 

（對第 j 縱行的餘因子分解）

${\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}}$ 

（對第 i 橫列的餘因子分解）

古典伴隨矩陣

「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。

${\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}}$ 

將餘因子矩陣

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」：

${\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$ 

克萊姆法則

克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式：

${\displaystyle \mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}}$ 

當 ${\displaystyle \det A\neq 0}$  時，${\displaystyle A}$  的逆矩陣由下式給出：

${\displaystyle A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}}$ 

此即線性方程組理論中的克萊姆法則。

文獻

• Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部連結

• at Google Video, from MIT OpenCourseWare