斜埃尔米特矩阵

如方块矩阵A的共轭转置A^*也是其负数，則A是斜許密矩阵或反許密矩阵（英語：skew-Hermitian matrix、anti-Hermitian matrix）：

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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查 论 编

A^* = −A

或者，如A = (a_i,j)：

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}}$

对于所有i和j。

例子

例如，以下矩阵便是斜許密矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}}$ 

性质

• 斜許密矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步，斜許密矩阵都是正规矩阵。因此它们可对角化，它们不同的特征向量一定是正交。
• 斜許密矩阵主对角线所有元素都一定是纯虚数。
• 如果A是斜許密矩阵，那iA是許密矩阵。
• 如果A，B是斜許密矩阵，那么对于所有实数a，b，aA + bB也一定是斜許密矩阵。
• 如果A是斜許密矩阵，那么对于所有正整数k，A^2k都是許密矩阵。
• 如果A是斜許密矩阵，那A的奇数次方也是斜許密矩阵。
• 如果A是斜許密矩阵，那e^A是酉矩阵。
• 矩阵與其共轭转置之差（${\displaystyle C-C^{*}}$ ）是斜許密矩阵。
• 任意方块矩阵C都可以写成許密矩阵A與斜許密矩阵B之和：

${\displaystyle C=A+B\quad }$ ，${\displaystyle \quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad }$ ，${\displaystyle \quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})}$  。

参见

• 斜对称矩阵
• 許密矩阵
• 正规矩阵
• 酉矩阵