幂零矩阵

幂零矩阵（英語：nilpotent matrix）是一个n×n的方块矩阵M，满足以下等式：

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵
向量 标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积） · 内积（数量积） 矩阵与行列式 矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 單位矩陣 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查 论 编

${\displaystyle M^{q}=0\,}$

对于某个正整数q。类似地幂零变换是一个线性变换L，满足${\displaystyle L^{q}=0}$对于某个整数q。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

例子

考虑以下的矩阵：

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

这是一个4×4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为转移矩阵）。注意非零的超对角线。这个矩阵的特征为：

${\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$ 

超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到零矩阵。

对应的幂零变换L : R⁴ → R⁴由下式定义：

${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0)\ }$ 

有一个分类定理证明这是典型的：幂零矩阵与分块矩阵是相似的，其对角线上的区块推广了这种类型，而其它区块为零。

性质

设M为n×n的幂零矩阵。

• 满足M^q = 0的最小整数q小于或等于n。
• 在代数封闭域上，矩阵M是幂零的，当且仅当它的所有特征值为零。因此，M的行列式和迹都为零，所以幂零矩阵必為奇異方陣。
• 假设A和B是两个矩阵。如果A是可逆矩阵，则${\displaystyle A^{-1}B}$ 是幂零矩阵，当且仅当${\displaystyle \det(A+tB)}$ 与t无关。这是因为：

${\displaystyle \det(A+tB)=\det A\cdot \det(I+tA^{-1}B)=\det A\cdot \prod _{k}(1+\lambda _{k}t)}$ 

其中${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ 是${\displaystyle A^{-1}B}$ 的特征值。

• M的特征多项式为λⁿ。
• 每一个严格的上三角矩阵或下三角矩阵都是幂零矩阵。
• 每一个奇异方阵都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。^[1]

分类定理

以上的例子是典型的，这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的分块矩阵相似：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}}$ 

其中区块${\displaystyle N_{i}}$ 在超对角线上为一，在其它地方为零：

${\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}}$ 

这可以从若尔当标准形，以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。

参考文献

1. R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

外部链接

• PlanetMath上的幂零矩阵 （页面存档备份，存于互联网档案馆）和幂零变换 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。