此条目的主題是环论中的幂零元。关于群论中的幂零群,請見「
冪零群」。
在抽象代数中,某个环R的一个元素x是一个幂零元,当存在一个正整数n,使得xn等于加法中的零元素。
例子 编辑
-
- 是一个幂零元,因为A3 = 0。
- 在商环Z/9Z中,同余类3是一个幂零元,因为32是同余类0。
- 如果在不交换的环R中,a,b满足ab=0。那么元素c=ba(如果非零的话)是一个幂零元,因为c2=(ba)2=b(ab)a=0。在矩阵中的一个例子是:
-
- 于是有
性质 编辑
在一个非平凡的交换环中,幂零元不可能是乘法的可逆元。每个幂零元显然都是零因子。
在交换环中,所有的幂零元组成一个理想,称作这个环的诣零根。每个素理想都包含所有的幂零元,实际上,所有素理想的交集就是环的诣零根。
如果x是幂零元,那么1 − x就是一个可逆元,因为由xn = 0 可得
- (1 − x) (1 + x + x2 + ... + xn−1) = 1 − xn = 1。
更一般地,在满足交换律的情况下,可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元。
一个域上的n阶方阵是幂零元,当且仅当它的特征多项式等于 。
参见 编辑
幂零元, 此条目的主題是环论中的, 关于群论中的幂零群, 請見, 冪零群, 在抽象代数中, 某个环r的一个元素x是一个, 当存在一个正整数n, 使得xn等于加法中的零元素, 例子, 编辑首先来看一个矩阵中的例子, 在3阶方阵中, 矩阵, displaystyle, begin, bmatrix, bmatrix, nbsp, 是一个, 因为a3, 在商环z, 9z中, 同余类3是一个, 因为32是同余类0, 如果在不交换的环r中, b满足ab, 那么元素c, 如果非零的话, 是一个, 因为c2, 在矩阵中的一个例子. 此条目的主題是环论中的幂零元 关于群论中的幂零群 請見 冪零群 在抽象代数中 某个环R的一个元素x是一个幂零元 当存在一个正整数n 使得xn等于加法中的零元素 例子 编辑首先来看一个矩阵中的例子 在3阶方阵中 矩阵 A 0 1 0 0 0 1 0 0 0 displaystyle A begin bmatrix 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 end bmatrix nbsp 是一个幂零元 因为A3 0 在商环Z 9Z中 同余类3是一个幂零元 因为32是同余类0 如果在不交换的环R中 a b满足ab 0 那么元素c ba 如果非零的话 是一个幂零元 因为c2 ba 2 b ab a 0 在矩阵中的一个例子是 A 1 0 1 0 1 A 2 0 1 0 0 displaystyle A 1 begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 1 end bmatrix A 2 begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end bmatrix nbsp 于是有 A 1 A 2 0 A 2 A 1 2 0 displaystyle A 1 A 2 0 A 2 A 1 2 0 nbsp 性质 编辑在一个非平凡的交换环中 幂零元不可能是乘法的可逆元 每个幂零元显然都是零因子 在交换环中 所有的幂零元组成一个理想 称作这个环的诣零根 英语 Nilradical of a ring 每个素理想都包含所有的幂零元 实际上 所有素理想的交集就是环的诣零根 如果x是幂零元 那么1 x就是一个可逆元 因为由xn 0 可得 1 x 1 x x2 xn 1 1 xn 1 更一般地 在满足交换律的情况下 可逆元与幂零元之和依然是一个可逆元 一个域上的n阶方阵是幂零元 当且仅当它的特征多项式等于t n displaystyle t n nbsp 参见 编辑环 取自 https zh wikipedia org w index php title 幂零元 amp oldid 78375122, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,
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