三重积, 又稱混合積, 是三个向量相乘的結果, 向量空間中, 有两种方法将三个向量相乘, 得到, 分別稱作标量和向量, 目录, 标量, 定義, 特性, 其他記號, 幾何意義, 向量, 定義, 特性, 證明, 參見, 參考文獻标量, 编辑定義, 编辑, 标量是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积, 其结果是个赝标量, 設a, displaystyle, mathbf, nbsp, displaystyle, mathbf, nbsp, displaystyle, mathbf, nbsp, 為三個向量, 則. 三重积 又稱混合積 是三个向量相乘的結果 向量空間中 有两种方法将三个向量相乘 得到三重积 分別稱作标量三重积和向量三重积 目录 1 标量三重积 1 1 定義 1 2 特性 1 3 其他記號 1 4 幾何意義 2 向量三重积 2 1 定義 2 2 特性 2 3 證明 3 參見 4 參考文獻标量三重积 编辑定義 编辑 标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积 其结果是个赝标量 設a displaystyle mathbf a nbsp b displaystyle mathbf b nbsp c displaystyle mathbf c nbsp 為三個向量 則标量三重积的定義為 a b c displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c nbsp dd 特性 编辑 設 a a 1 i a 2 j a 3 k displaystyle mathbf a a 1 mathbf i a 2 mathbf j a 3 mathbf k nbsp b b 1 i b 2 j b 3 k displaystyle mathbf b b 1 mathbf i b 2 mathbf j b 3 mathbf k nbsp c c 1 i c 2 j c 3 k displaystyle mathbf c c 1 mathbf i c 2 mathbf j c 3 mathbf k nbsp 則有 a b c a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c begin vmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end vmatrix nbsp dd 證明 a b c displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c nbsp a 1 i a 2 j a 3 k i j k b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 i a 2 j a 3 k i b 2 b 3 c 2 c 3 j b 1 b 3 c 1 c 3 k b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 b 2 b 3 c 2 c 3 a 2 b 1 b 3 c 1 c 3 a 3 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 displaystyle begin aligned amp a 1 mathbf i a 2 mathbf j a 3 mathbf k cdot begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end vmatrix amp a 1 mathbf i a 2 mathbf j a 3 mathbf k cdot mathbf i begin vmatrix b 2 amp b 3 c 2 amp c 3 end vmatrix mathbf j begin vmatrix b 1 amp b 3 c 1 amp c 3 end vmatrix mathbf k begin vmatrix b 1 amp b 2 c 1 amp c 2 end vmatrix amp a 1 begin vmatrix b 2 amp b 3 c 2 amp c 3 end vmatrix a 2 begin vmatrix b 1 amp b 3 c 1 amp c 3 end vmatrix a 3 begin vmatrix b 1 amp b 2 c 1 amp c 2 end vmatrix amp begin vmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end vmatrix end aligned nbsp 利用行列式的特性 可知順序置換向量的位置不影響标量三重积的值 a b c b c a c a b displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c mathbf b cdot mathbf c times mathbf a mathbf c cdot mathbf a times mathbf b nbsp dd 任意對換兩個向量的位置 标量三重积與原來相差一個負號 a b c a c b displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c mathbf a cdot mathbf c times mathbf b nbsp a b c b a c displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c mathbf b cdot mathbf a times mathbf c nbsp a b c c b a displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c mathbf c cdot mathbf b times mathbf a nbsp dd 若任意兩個向量相等 則标量三重积等於零 a a b a b a a b b a a a 0 displaystyle mathbf a cdot mathbf a times mathbf b mathbf a cdot mathbf b times mathbf a mathbf a cdot mathbf b times mathbf b mathbf a cdot mathbf a times mathbf a 0 nbsp dd 其他記號 编辑 有時候 純量三重積會以括號表示 a b c a b c a b c displaystyle mathbf a mathbf b mathbf c mathbf a cdot mathbf b times mathbf c mathbf a times mathbf b cdot mathbf c nbsp dd 幾何意義 编辑 几何上 由三个向量定義的平行六面体 其体积等於三個标量标量三重积的絕對值 V a b c a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 displaystyle V mathbf a cdot mathbf b times mathbf c left begin vmatrix a 1 amp a 2 amp a 3 b 1 amp b 2 amp b 3 c 1 amp c 2 amp c 3 end vmatrix right nbsp dd 證明 nbsp 用向量来定义平行六面体 以 b displaystyle mathbf b nbsp 和 c displaystyle mathbf c nbsp 来表示底面的边 则根据叉积的定义 底面的面积 A displaystyle A nbsp 为 A b c sin 8 b c displaystyle A mathbf b mathbf c sin theta mathbf b times mathbf c nbsp 其中 8 displaystyle theta nbsp 是 b displaystyle mathbf b nbsp 与 c displaystyle mathbf c nbsp 之间的角 而高 h displaystyle h nbsp 为 h a cos a displaystyle h mathbf a cos alpha nbsp 其中 a displaystyle alpha nbsp 是 a displaystyle mathbf a nbsp 与 h displaystyle h nbsp 之间的角 从图中我们可以看到 a displaystyle alpha nbsp 的大小限定为 0 a lt 90 displaystyle 0 circ leq alpha lt 90 circ nbsp 而向量 b c displaystyle mathbf b times mathbf c nbsp 与 a displaystyle mathbf a nbsp 之间的角 8 displaystyle theta nbsp 则有可能大于90 0 8 lt 180 displaystyle 0 circ leq theta lt 180 circ nbsp 也就是说 由于 b c displaystyle mathbf b times mathbf c nbsp 与 h displaystyle h nbsp 平行 8 displaystyle theta nbsp 的值要么等于 a displaystyle alpha nbsp 要么等于 180 a displaystyle 180 circ alpha nbsp 因此 cos a cos 8 cos 8 displaystyle cos alpha pm cos theta cos theta nbsp 且 h a cos 8 displaystyle h mathbf a cos theta nbsp 我们得出结论 V A h a b c cos 8 displaystyle V Ah mathbf a mathbf b times mathbf c cos theta nbsp 于是 根据點积的定义 它等于 a b c displaystyle mathbf a cdot mathbf b times mathbf c nbsp 的绝对值 即 V a b c displaystyle V mathbf a cdot mathbf b times mathbf c nbsp 证毕 向量三重积 编辑向量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积 其结果是个向量 定義 编辑 對於三個向量a displaystyle mathbf a nbsp b displaystyle mathbf b nbsp c displaystyle mathbf c nbsp 向量三重积的定義為 a b c displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c nbsp dd 值得注意的是 一般來說 a b c a b c displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c neq mathbf a times mathbf b times mathbf c nbsp dd 特性 编辑 以下恆等式 稱作三重積展開或拉格朗日公式 對於任意向量a displaystyle mathbf a nbsp b displaystyle mathbf b nbsp c displaystyle mathbf c nbsp 均成立 a b c b a c c a b displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf b mathbf a cdot mathbf c mathbf c mathbf a cdot mathbf b nbsp a b c c a b a c b b c a displaystyle begin aligned mathbf a times mathbf b times mathbf c amp mathbf c times mathbf a times mathbf b amp mathbf a mathbf c cdot mathbf b mathbf b mathbf c cdot mathbf a end aligned nbsp dd 英文中有對於第一式有助記口訣BAC CAB BACK CAB 後面的出租車 1 但是不容易記住第一式跟第二式的變化 很容易搞混 觀察兩個公式 可得到以下三點 兩個分項都帶有三個向量 a b c displaystyle mathbf a mathbf b mathbf c nbsp 三重積一定是先做叉积的兩向量之線性組合 中間的向量所帶的係數一定為正 此處為向量b displaystyle mathbf b nbsp 證明 编辑 我們可以由叉積的定義計算u v w displaystyle mathbf u times mathbf v times mathbf w nbsp 的x displaystyle x nbsp 分量 u v w x u y v x w y v y w x u z v z w x v x w z v x u y w y u z w z w x u y v y u z v z v x u x w x u y w y u z w z w x u x v x u y v y u z v z u w v x u v w x displaystyle begin aligned mathbf u times mathbf v times mathbf w x amp mathbf u y mathbf v x mathbf w y mathbf v y mathbf w x mathbf u z mathbf v z mathbf w x mathbf v x mathbf w z amp mathbf v x mathbf u y mathbf w y mathbf u z mathbf w z mathbf w x mathbf u y mathbf v y mathbf u z mathbf v z amp mathbf v x mathbf u x mathbf w x mathbf u y mathbf w y mathbf u z mathbf w z mathbf w x mathbf u x mathbf v x mathbf u y mathbf v y mathbf u z mathbf v z amp mathbf u cdot mathbf w mathbf v x mathbf u cdot mathbf v mathbf w x end aligned nbsp 類推至y displaystyle y nbsp 和z displaystyle z nbsp 分量 可得 u v w y u w v y u v w y u v w z u w v z u v w z displaystyle begin aligned mathbf u times mathbf v times mathbf w y amp mathbf u cdot mathbf w mathbf v y mathbf u cdot mathbf v mathbf w y mathbf u times mathbf v times mathbf w z amp mathbf u cdot mathbf w mathbf v z mathbf u cdot mathbf v mathbf w z end aligned nbsp 所以 a b c b a c c a b displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf b mathbf a cdot mathbf c mathbf c mathbf a cdot mathbf b nbsp 利用上述恆等式 可得以下結果 a b c b c a c a b 0 displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf b times mathbf c times mathbf a mathbf c times mathbf a times mathbf b 0 nbsp 雅可比恆等式 a b c a b c b a c displaystyle mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf a times mathbf b times mathbf c mathbf b times mathbf a times mathbf c nbsp dd 在向量分析中 有以下与梯度相关的一條恆等式 f f f displaystyle nabla times nabla times mathbf f nabla nabla cdot mathbf f nabla cdot nabla mathbf f nbsp 这是一个拉普拉斯 德拉姆算子D d d d d displaystyle Delta mathrm d delta delta mathrm d nbsp 的特殊情形 參見 编辑向量 點積 叉積 四重積參考文獻 编辑 David K Cheng Field and Wave Electromagnetics 2014 第18頁 ISBN 9781292026565 取自 https zh wikipedia org w index php title 三重积 amp oldid 68850373, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,