向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。

${\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla }$

${\displaystyle \operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot }$

${\displaystyle \operatorname {curl} \equiv \nabla \times }$

拉普拉斯算符表示为：

${\displaystyle \nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla }$

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：

${\displaystyle \nabla f}$

得到f的梯度，但是

${\displaystyle f\nabla }$

是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

三維空間中的純量函數與向量函數

純量函數

令 ${\displaystyle U}$  為空間位置 ${\displaystyle (x,y,z)}$  的多變數純量函數（英语：Function_of_several_real_variables） ，例如：

${\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。

向量函數

令 ${\displaystyle V}$  為空間位置 ${\displaystyle (x,y,z)}$  的向量函數（英语：Vector-valued_function） ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

${\displaystyle V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}}$ 

梯度與Nabla算子的定義

主条目：梯度

純量函數 ${\displaystyle U(x,y,z)}$  在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}}$ 

因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}$ 

其加總即為 ${\displaystyle U}$  的組合變率：

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}$ 

如同微分算子 ${\displaystyle D}$  被用來表示某函數的導數，例如 ${\displaystyle D(f)}$  或 ${\displaystyle Df}$ ，我們使用 ${\displaystyle \nabla }$  來表示組合變率：

${\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)}$ 

其中 ${\displaystyle V}$  為一向量函數。組合變率 ${\displaystyle \nabla U}$  稱為 ${\displaystyle U}$  的導數（derivative），${\displaystyle U}$  則稱為 ${\displaystyle \nabla U}$  的本原（primitive）。

${\displaystyle \nabla U}$  本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 ${\displaystyle U}$  的梯度、或斜率。

Nabla算子的單獨使用

主条目：Nabla算子

我們可以把 ${\displaystyle \nabla }$  當作一個函數，唸為 ${\displaystyle del}$ ，記為 ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：

${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}}$ ，因此：

${\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U}$ 

將 ${\displaystyle \nabla }$  當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

散度：Nabla算子與向量函數的內積

主条目：散度

將 ${\displaystyle \nabla }$  當作一個形式向量，與向量函數 ${\displaystyle V}$  做內積：

${\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)}$ 

這裡得到一個純量函數 ${\displaystyle U}$ ，稱為 ${\displaystyle V}$  的散度。

我們也可以將 ${\displaystyle \nabla \cdot }$  當作一個算子，唸為 ${\displaystyle del\ dot}$ ，記為 ${\displaystyle \operatorname {div} }$ ，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

${\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ 

旋度：Nabla算子與向量函數的叉積

主条目：旋度

將 ${\displaystyle \nabla }$  當作一個形式向量，與向量函數 ${\displaystyle V}$  做叉積：

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$ 

這裡得到一個向量函數，稱為 ${\displaystyle V}$  的旋度。

我們也可以將 ${\displaystyle \nabla \times }$  當作一個算子，唸為 ${\displaystyle del\ cross}$ ，記為 ${\displaystyle \operatorname {curl} }$ ，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

${\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}}$ 

拉普拉斯算子

主条目：拉普拉斯算子

對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$ 

這稱為拉普拉斯算子，記為 ${\displaystyle \nabla ^{2}}$  或者 ${\displaystyle \Delta }$ ，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

参见

• Nabla算符
• 达朗贝尔算符
• Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

延伸阅读

• H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.