向量場

在向量微积分和物理学中，向量場（vector field）^[1]是把空間中的每一点指派到一個向量的映射^[2]。物理學中的向量場有風場、引力場、電磁場、水流場等等。

定義

設X是Rⁿ裡的一個连通開集，一個向量場就是一個向量函數

${\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ 

我們稱${\textstyle \mathbf {F} }$ 為一個C^k向量場，如果${\displaystyle \mathbf {F} }$ 在X上是k次連續可微的。

在X內，一個點x被稱為固定的，若

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ 

向量場可以理解為一個n維空間，其中對X內每一個點都有個附著的n維向量。

給定兩個定義於X上的C^k-向量場F,G以及一個定義於X上的C^k-實值函數f，可以定義以下運算

${\displaystyle (f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$ 

${\displaystyle \mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )}$ 

如此便可定義在C^k函數的環上的C^k向量場的模。

参考资料

1. 朱桦. 第15章向量场(Vector Fields) (PDF). 国立台湾大学. 2018年12月23日 [2020年6月15日]. （原始内容 (PDF)于2020年9月22日）. 
2. Galbis, Antonio & Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12 [2020-06-15]. （原始内容于2016-04-25）.