黎曼曲率張量, 在微分几何中, 黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式, 更普遍的, 它可以表示有仿射联络的流形的曲率, 包括无扭率或有撓率的, 曲率张量通过列维, 奇维塔联络, 更一般的, 一个仿射联络, displaystyle, nabla, 或者叫协变导数, 由下式给出, displaystyle, nabla, nabla, nabla, nabla, nabla, 这里r, displaystyle, 是一个流形切空间的线性变换, 它对于每个参数都是线性的, 注意有些作者用相反的符号定义曲. 在微分几何中 黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式 更普遍的 它可以表示有仿射联络的流形的曲率 包括无扭率或有撓率的 曲率张量通过列维 奇维塔联络 更一般的 一个仿射联络 displaystyle nabla 或者叫协变导数 由下式给出 R u v w u v w v u w u v w displaystyle R u v w nabla u nabla v w nabla v nabla u w nabla u v w 这里R u v displaystyle R u v 是一个流形切空间的线性变换 它对于每个参数都是线性的 注意有些作者用相反的符号定义曲率 如果u x i displaystyle u partial partial x i 与 v x j displaystyle v partial partial x j 是坐标向量场则 u v 0 displaystyle u v 0 所以公式简化为 R u v w u v w v u w displaystyle R u v w nabla u nabla v w nabla v nabla u w 也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性 线性变换w R u v w displaystyle w mapsto R u v w 也称曲率变换 對稱性和恆等式 编辑进一步 由上式定义了如下的三重线性映射 R w u v R u v w displaystyle R w u v rightarrow R u v w 映射R displaystyle R 关于每一个自变量都是C displaystyle C infty 线性的 故R displaystyle R 是M displaystyle M 上的 1 3 displaystyle 1 3 型光滑张量场 称之为仿射联络空间 M displaystyle M nabla 的曲率张量 在坐标向量场下 R displaystyle R 可以表示为 R R k i j l d x k x l d x i d x j displaystyle R R kij l dx k otimes frac partial partial x l otimes dx i otimes dx j 还可以定义四重线性映射 如下 R w z u v g R u v w z displaystyle R w z u v rightarrow g R u v w z 则映射 R displaystyle R 关于每一个自变量都是C displaystyle C infty 线性的 故R displaystyle R 是黎曼流形 M g displaystyle M g 上的 0 4 displaystyle 0 4 型光滑张量场 称之为黎曼流形 M g displaystyle M g 的黎曼曲率张量 在坐标向量场下 R displaystyle R 可以表示为 R R k l i j d x k d x l d x i d x j displaystyle R R klij dx k otimes dx l otimes dx i otimes dx j 注 上述纺射联络空间 M displaystyle M nabla 上的曲率张量 R displaystyle R 与黎曼流形 M g displaystyle M g 上的黎曼曲率张量 R displaystyle R 是同一个对象的不同表现形式 注 R k l i j g l m R k i j m displaystyle R klij g lm R kij m 黎曼曲率张量有如下的对称性 R u v R v u displaystyle R u v R v u R u v w z R u v z w displaystyle langle R u v w z rangle langle R u v z w rangle R u v w R v w u R w u v 0 displaystyle R u v w R v w u R w u v 0 最后一个恒等式由里奇发现 但是称为第一比安基恒等式 First Bianchi identity 或代数比安基恒等式 Algebraic Bianchi identity 因为和下面的比安基恒等式相像 这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表 也就是给定说任何满足上述恒等式的张量 可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样 简单的计算表明这样一个张量有n 2 n 2 1 12 displaystyle n 2 n 2 1 12 个独立分量 另一个有用的恒等式可以由上面这些导出 R u v w z R w z u v displaystyle langle R u v w z rangle langle R w z u v rangle 比安基恒等式 Bianchi identity 经常也叫第二比安基恒等式 Second Bianchi identity 或微分比安基恒等式 Differential Bianchi identity 它涉及到协变导数 u R v w v R w u w R u v 0 displaystyle nabla u R v w nabla v R w u nabla w R u v 0 给定流形某点的任一坐标表示 上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为 R a b c d R b a c d displaystyle R abcd R bacd R a b c d R c d a b displaystyle R abcd R cdab 第一 代數 比安基恒等式 R a b c d R a d b c R a c d b 0 displaystyle R abcd R adbc R acdb 0 或等價地寫為R a b c d 0 displaystyle R a bcd 0 第二 微分 比安基恒等式 e R a b c d d R a b e c c R a b d e 0 displaystyle nabla e R abcd nabla d R abec nabla c R abde 0 或等價地寫為R a b c d e 0 displaystyle R ab cd e 0 其中方括号表示对下标的反對稱化 分号表示协变导数 这些恒等式在物理中有应用 特别是广义相对论 相關條目 编辑黎曼流形的曲率 截面曲率 曲率形式外部連結 编辑 英文 Wolfram MathWorld Riemann Tensor 页面存档备份 存于互联网档案馆 Bianchi identity 页面存档备份 存于互联网档案馆 Contracted Bianchi identity 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 黎曼曲率張量 amp oldid 63042889, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,