贝利-波尔温-普劳夫公式

贝利-波尔温-普劳夫公式（BBP公式）提供了一个计算圓周率π的第n位二进制数的spigot算法（英语：spigot algorithm）（spigot algorithm）。这个求和公式是在1995年由西蒙·普勞夫提出的，并以公布这个公式的论文作者大卫·贝利（David H. Bailey）、皮特·波爾溫（英语：Peter Borwein）（Peter Borwein）和普勞夫的名字命名。在论文发表之前，普勞夫已将此公式在他的网站上公布^[1][2]。这个公式是：

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right]}$

这个公式的发现曾震惊学界。数百年来，求出π的第n位小数而不求出它的前n-1位曾被认为是不可能的。

自从这个发现以来，发现了更多的无理数常数的类似公式，它们都有一个类似的形式：

${\displaystyle \alpha =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{k}}}{\frac {p(k)}{q(k)}}\right]}$

其中α是目标常数，p和q是整系数多项式，b ≥ 2是整数的数制。

这种形式的公式被称为BBP式公式（BBP-type formulas）^[3]。由特定的p,q和b可组合出一些著名的常数。但至今尚未找出一种系统的算法来寻找合适的组合，而已知的公式多是通过实验数学（英语：Experimental mathematics）得出的。

特例

一个已经得出很多解的BBP式的特例是：

${\displaystyle P(s,b,m,A)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{k}}}\sum _{j=1}^{m}{\frac {a_{j}}{(mk+j)^{s}}}\right]}$ 

其中s, b和m是整数，${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{m})}$ 是一个整数向量。 使用P函数可得到一些解法的省略记法。

已知的BBP式

在BBP公式发现之前，就已经有些最简单的此类公式广为所知。他们使用P函数的省略记法如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {9}{10}}&=-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{200}}-{\frac {1}{3\ 000}}-{\frac {1}{40\ 000}}-{\frac {1}{500\ 000}}-\cdots \\&=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{k}\cdot k}}=-{\frac {1}{10}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{10^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&=-{\frac {1}{10}}P\left(1,10,1,(1)\right)\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 2^{2}}}+{\frac {1}{3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1}{4\cdot 2^{4}}}+{\frac {1}{5\cdot 2^{5}}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}\cdot k}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}\left({\frac {1}{k+1}}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}P\left(1,2,1,(1)\right)\end{aligned}}}$ 

普勞夫也对这种形式的反正切函數的級數展開感兴趣（P记法还可以泛化为b不是整数的情形）:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan {\frac {1}{b}}&={\frac {1}{b}}-{\frac {1}{b^{3}3}}+{\frac {1}{b^{5}5}}-{\frac {1}{b^{7}7}}+{\frac {1}{b^{9}9}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{k}}}{\frac {\sin {\frac {k\pi }{2}}}{k}}\right]={\frac {1}{b}}\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{b^{4k}}}\left({\frac {1}{4k+1}}+{\frac {-1}{4k+3}}\right)\right]\\&={\frac {1}{b}}P\left(1,b^{4},4,(1,0,-1,0)\right)\end{aligned}}}$ 

寻找新的等式

使用上述P函数，令s = 1, m > 1可得出已知的π的最简单公式。很多已知的公式是令b是2或3的幂，m是2的幂或者其他多因子的值，并令向量A等於零。在计算了一些类似的和之后，这类发现引发了使用计算机搜索类似线性组合的尝试。搜索程序为每个参数，s, b, m分别选择一个定义域，然后求和并检查值，并使用整数关系侦查算法（英语：Integer relation algorithm）（integer relation algorithm），例如赫拉曼·弗古森（英语：Helaman Ferguson）（Helaman Ferguson）的PSLQ算法，来找到一个向量A使得这些中间值可以加在一起得到一个著名的常数（A也可能是零）。

π的BBP公式

原始的BBP π求和公式是在1995年由Plouffe使用PSLQ算法（英语：Integer relation algorithm）^[4]（integer relation algorithm）发现的。它同样可由上述P函数表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)\right]\\&=P\left(1,16,8,(4,0,0,-2,-1,-1,0,0)\right)\end{aligned}}}$ 

这个公式也可以使用下述两个多项式的商来表示：

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {120k^{2}+151k+47}{512k^{4}+1024k^{3}+712k^{2}+194k+15}}\right)\right]}$ 

这个等式可以用一个较为简单的方式严格证明。^[5]

π的BBP位抽取算法

这个公式给出一个抽取π的十六进制位数值的算法。首先我们需要将这个公式化为：

${\displaystyle \pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+1)}}-2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+4)}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+5)}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+6)}}}$ 。

在使用此公式实现一个spigot算法之前，还需做一些改动。我们想要找出π在十六进制下的第n位，所以首先我们需要将该求和序列拆为n之前和n之后两部分。对于前述公式的第一项而言，

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+1)}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(16^{k})(8k+1)}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {1}{(16^{k})(8k+1)}}}$ 。

我们再将等式两边乘以16 ⁿ，使得小数点恰好落在第n位。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {16^{n-k}}{8k+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {16^{n-k}}{8k+1}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {16^{n-k}}{8k+1}}}$ 。

由于我们关心的是小数部分，我们观察这个式子的两项，会发现仅有第一项能够出现整数部分，而第二项不会出现整数部分。因为第二项中k > n,第二项中的分子一定小于分母。由此我们需要一个使用一种技巧来从第一项中除去整数。那就是要mod 8k + 1。于是原式第一项的小数部分的公式就是：

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {16^{n-k}\mod 8k+1}{8k+1}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {16^{n-k}}{8k+1}}}$ 。

注意模运算将保证只有小数部分的和会被保留下来。想要快速有效的计算16 ^{n - k} mod 8k + 1 ,可使用模幂運算（英语：Modular exponentiation）（Modular exponentiation）。

对公式的其余项使用相同的处理办法，并根据原式求出最后的结果。

${\displaystyle 4\Sigma _{1}-2\Sigma _{2}-\Sigma _{3}-\Sigma _{4}.\,\!}$ 

由于仅有小数部分是准确的，想要抽取特定的小数位需要去掉最终结果的整数部分，并乘16来跳过这一个16进制位（理论上说在精度范围内这一位下面的几个小数位仍然是准确的）。

这个过程类似于長整數乘法（long multiplication），但只需对一些中间列进行求和。由于有些进位没有被计算，而我们只关心最重要的位，计算机通常对很多位（32或者64）同时进行计算。存在一种极低的可能性，就是当极端情况出现，可能会将一个小数（比如1）加到999999999999999上，然后这个错误将会影响最重要的那个位。但在最终计算结果的时候，这种情况如果要发生，那也会是显而易见的。

这个算法被广为应用并有多种程序实现^[6][7][8][9]。

使用BBP算法计算π的好处

这个算法无需自定义一种包含数千甚至数亿数字的“大数”数据类型。这种算法计算第n位而无需计算前n-1位，因此可以采用简单有效的数据类型。

这种算法对于计算π的第n位（或者第n位的附近几位）是最快最有效的，但使用大数据类型来计算π的前n位的算法仍然比这个算法更快。

推广

D.J.布拉德赫斯特提出了一种BBP算法的泛化形式。^[10]这种形式可以用于在接近线性时间和对数空间下求很多其他的常数。例如卡塔兰常数，${\displaystyle \pi ^{3}}$ ，${\displaystyle \log ^{3}2}$ ，阿培裏常数${\displaystyle \zeta (3)}$ （其中${\displaystyle \zeta (x)}$ 是黎曼ζ函數），${\displaystyle \pi ^{4}}$ ，${\displaystyle \log ^{4}2}$ ，${\displaystyle \log ^{5}2}$ ，${\displaystyle \zeta (5)}$ ，还有很多${\displaystyle \pi }$ 和${\displaystyle \log 2}$ 的不同幂次。这些结果主要是使用多重对数函数（polylogarithm ladder）得到的。

参考资料

1. Bailey, David H., Borwein, Peter B.（英语：Peter Borwein）, and Plouffe, Simon. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Mathematics of Computation. April 1997, 66 (218): 903–913. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. 
2. Controversy surrounding who among the three actually invented this algorithm. [2010-04-25]. （原始内容于2010-04-17）. 
3. Weisstein, Eric W. (编). BBP Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
4. ANALYSIS OF PSLQ. [2011-11-21]. （原始内容于2016-03-04）. 
5. (PDF). [2010-04-25]. （原始内容 (PDF)存档于2011-09-27）. 
6. A C++ implementation of the BBP algorithm for π（portable, SSE2 and OpenMP versions）. [2010-04-25]. （原始内容于2010-11-27）. 
7. (Python)| A Python implementation of the BBP algorithm for π. [2010-04-25]. （原始内容于2016-03-04）. 
8. A Ruby implementation of the BBP algorithm for π. [2018-04-24]. （原始内容于2008-06-08）. 
9. Computing π on a distributed cluster of computers. [2010-04-25]. （原始内容于2010-02-05）. 
10. D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) （页面存档备份，存于互联网档案馆）", (1998) arXiv math.CA/9803067

外部链接

• Cook’s Class Contains Pi（页面存档备份，存于互联网档案馆）