^ Tom M.Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. 世界图书出版社. 2012: 54. ISBN 978-7-5100-4062-7(英语).使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
七月 03, 2023
欧拉, 麦克劳林求和公式, 在1735年由莱昂哈德, 欧拉与科林, 麦克劳林分别独立发现, 该公式提供了一个联系积分与求和的方法, 由此可以导出一些渐进展开式, 科林, 麦克劳林是的提出者之一, 莱昂哈德, 欧拉是的提出者之一, 目录, 公式, 证明, 0的情形, 假设k, 1时原式成立, 处理积分, 蓝色项, 将处理后的积分代入, 余项, 积分项, 估计, 应用, 其他形式, 参考文献公式, 编辑, 设f, displaystyle, begin, smallmatrix, smallmatrix, 为一至少k,. 欧拉 麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德 欧拉与科林 麦克劳林分别独立发现 该公式提供了一个联系积分与求和的方法 由此可以导出一些渐进展开式 科林 麦克劳林是欧拉 麦克劳林求和公式的提出者之一 莱昂哈德 欧拉是欧拉 麦克劳林求和公式的提出者之一 目录 1 公式 2 证明 2 1 k 0的情形 2 2 假设k n 1时原式成立 2 3 处理积分 蓝色项 2 4 将处理后的积分代入 3 余项 积分项 估计 4 应用 5 其他形式 6 参考文献公式 编辑 1 设f x displaystyle begin smallmatrix f x end smallmatrix 为一至少k 1 displaystyle begin smallmatrix k 1 end smallmatrix 阶可微的函数 a b Z displaystyle begin smallmatrix a b in mathbb Z end smallmatrix 则 a lt n b f n a b f t d t r 0 k 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 k k 1 a b B k 1 t f k 1 t d t displaystyle begin aligned sum a lt n leq b f n amp int a b f t mathrm d t amp quad sum r 0 k frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a amp quad frac 1 k k 1 int a b bar B k 1 t f k 1 t dt end aligned 其中 n 1 2 n displaystyle begin smallmatrix n 1 times 2 times times n end smallmatrix 表示n displaystyle begin smallmatrix n end smallmatrix 的阶乘 f n x displaystyle begin smallmatrix f n x end smallmatrix 表示f x displaystyle begin smallmatrix f x end smallmatrix 的n displaystyle begin smallmatrix n end smallmatrix 阶导函数 B n x B n x displaystyle begin smallmatrix bar B n x B n left langle x right rangle end smallmatrix 其中 B n x displaystyle begin smallmatrix B n x end smallmatrix 表示第n displaystyle begin smallmatrix n end smallmatrix 个伯努利多项式 伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列 B 0 x 1 B r x r B r 1 x r 1 0 1 B r x d x 0 r 1 displaystyle begin cases B 0 x equiv 1 B r x equiv rB r 1 x quad r geq 1 int 0 1 B r x mathrm d x 0 quad r geq 1 end cases x displaystyle begin smallmatrix left langle x right rangle end smallmatrix 表示x displaystyle begin smallmatrix x end smallmatrix 的小数部分 B n B n 0 B n 0 displaystyle begin smallmatrix B n B n 0 bar B n 0 end smallmatrix 为第n displaystyle begin smallmatrix n end smallmatrix 个伯努利数证明 编辑证明使用数学归纳法以及黎曼 斯蒂尔杰斯积分 下文中假设f x displaystyle begin smallmatrix f x end smallmatrix 的可微次数足够大 a b Z displaystyle begin smallmatrix a b in mathbb Z end smallmatrix 为了方便 将原式的各项用不同颜色表示 a lt n b f n a b f t d t r 0 k 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 k k 1 a b B k 1 t f k 1 t d t displaystyle sum a lt n leq b f n color red int a b f t mathrm d t color OliveGreen sum r 0 k frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a color blue frac 1 k k 1 int a b bar B k 1 t f k 1 t dt k 0的情形 编辑 容易算出B 1 t t 1 2 displaystyle bar B 1 t color Purple left langle t right rangle frac 1 2 a lt n b f n a b f t d t a b f t d t a b f t d t a b f t d t a b f t d t 1 2 a b f t d t a b f t d B 1 t displaystyle begin aligned sum a lt n leq b f n amp int a b f t mathrm d left lfloor t right rfloor amp color red int a b f t mathrm d t int a b f t mathrm d left langle t right rangle amp color red int a b f t mathrm d t int a b f t mathrm d color Purple left langle t right rangle frac 1 2 amp color red int a b f t mathrm d t color BurntOrange int a b f t mathrm d bar B 1 t end aligned 其中橙色的项通过分部积分可化为 a b f t d B 1 t f t B 1 t t a t b a b B 1 t d f t f b B 1 b f a B 1 a a b B 1 t f t d t B 1 f b f a a b B 1 t f t d t displaystyle begin aligned color BurntOrange int a b f t mathrm d bar B 1 t amp f t bar B 1 t t a t b int a b bar B 1 t mathrm d f t amp f b B 1 left langle b right rangle f a B 1 left langle a right rangle color blue int a b bar B 1 t f t mathrm d t amp color OliveGreen B 1 cdot f b f a color blue int a b bar B 1 t f t mathrm d t end aligned 假设k n 1时原式成立 编辑 a lt n b f n a b f t d t r 0 n 1 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 n 1 n a b B n t f n t d t displaystyle sum a lt n leq b f n color red int a b f t mathrm d t color OliveGreen sum r 0 n 1 frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a color blue frac 1 n 1 n int a b bar B n t f n t mathrm d t 处理积分 蓝色项 编辑 1 n 1 n a b B n t f n t d t 1 n 1 n a b B n 1 t n 1 f n t d t 1 n 1 n 1 a b B n 1 t f n t d t 1 n 1 n 1 a b f n t d B n 1 t 1 n 1 n 1 f n t B n 1 t t a t b a b B n 1 t d f n t 1 n 1 n 1 f n b B n 1 b f n a B n 1 a a b B n 1 t f n 1 t d t 1 n 1 B n 1 n 1 f n b f n a 1 n 1 n 1 a b B n 1 t f n 1 t d t 1 n 1 B n 1 n 1 f n b f n a 1 n n 1 a b B n 1 t f n 1 t d t displaystyle begin aligned color blue frac 1 n 1 n int a b bar B n t f n t mathrm d t amp frac 1 n 1 n int a b frac bar B n 1 t n 1 f n t mathrm d t amp frac 1 n 1 n 1 int a b bar B n 1 t f n t mathrm d t amp frac 1 n 1 n 1 int a b f n t mathrm d bar B n 1 t amp frac 1 n 1 n 1 f n t bar B n 1 t t a t b int a b bar B n 1 t mathrm d f n t amp frac 1 n 1 n 1 f n b B n 1 left langle b right rangle f n a B n 1 left langle a right rangle int a b bar B n 1 t f n 1 t mathrm d t amp frac 1 n 1 B n 1 n 1 cdot f n b f n a frac 1 n 1 n 1 int a b bar B n 1 t f n 1 t mathrm d t amp color OliveGreen frac 1 n 1 B n 1 n 1 cdot f n b f n a color blue frac 1 n n 1 int a b bar B n 1 t f n 1 t mathrm d t end aligned 将处理后的积分代入 编辑 a lt n b f n a b f t d t r 0 n 1 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 n 1 n a b B n t f n t d t a b f t d t r 0 n 1 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 n 1 B n 1 n 1 f n b f n a 1 n n 1 a b B n 1 t f n 1 t d t a b f t d t r 0 n 1 r 1 B r 1 r 1 f r b f r a 1 n n 1 a b B n 1 t f n 1 t d t displaystyle begin aligned sum a lt n leq b f n amp color red int a b f t mathrm d t color OliveGreen sum r 0 n 1 frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a color blue frac 1 n 1 n int a b bar B n t f n t mathrm d t amp color red int a b f t mathrm d t color OliveGreen sum r 0 n 1 frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a color OliveGreen frac 1 n 1 B n 1 n 1 cdot f n b f n a color blue frac 1 n n 1 int a b bar B n 1 t f n 1 t mathrm d t amp color red int a b f t mathrm d t color OliveGreen sum r 0 n frac 1 r 1 B r 1 r 1 cdot f r b f r a color blue frac 1 n n 1 int a b bar B n 1 t f n 1 t mathrm d t end aligned 得到想要的结果 余项 积分项 估计 编辑欧拉 麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着k displaystyle begin smallmatrix k end smallmatrix 的增加而增加 相反地 如果k displaystyle begin smallmatrix k end smallmatrix 相当大 则积分项也会很大 右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的k displaystyle begin smallmatrix k end smallmatrix 对应的积分项的绝对值 计算调和级数时的误差项应用 编辑通过欧拉 麦克劳林求和公式可以给出黎曼z函数的渐进式 2 z s n 1 N 1 n s N 1 s s 1 1 2 N s B 2 2 s N s 1 B 2 n 2 n s s 1 s 2 n 2 N s 2 n 1 R 2 n displaystyle begin aligned zeta s amp sum n 1 N 1 n s frac N 1 s s 1 frac 1 2 N s amp quad frac B 2 2 sN s 1 frac B 2 nu 2 nu s s 1 s 2 nu 2 N s 2 nu 1 R 2 nu end aligned 其中R 2 n s s 1 s 2 n 1 2 n N B 2 n x x s 2 n d x displaystyle R 2 nu frac s s 1 s 2 nu 1 2 nu int N infty bar B 2 nu x x s 2 nu mathrm d x 其他形式 编辑欧拉 麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式 3 y lt n x f n y x f t d t y x t t f t d t f x x x f y y y displaystyle sum y lt n leq x f n int y x f t mathrm d t int y x t left lfloor t right rfloor f t mathrm d t f x left lfloor x right rfloor x f y left lfloor y right rfloor y 这是欧拉给出的原始形式 参考文献 编辑 Gerald Tenenbaum 解析与概率数论导引 高等教育出版社 2011年1月 5 2015 05 03 ISBN 978 7 04 029467 5 中文 H M Edwards Riemann s Zeta Function Dover Publications 2001 114 ISBN 978 0 486 41740 0 英语 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 Tom M Apostol Introduction to Analytic Number Theory 世界图书出版社 2012 54 ISBN 978 7 5100 4062 7 英语 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 欧拉 麦克劳林求和公式 amp oldid 76679814, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,