欧拉数

提示：此条目的主题不是欧拉常数或欧拉示性数。

  其它用法，参见欧拉数 (物理学)，另见e (数学常数)，和欧拉-马歇罗尼常数。

歐拉數E_n是一個整數數列，由下列泰勒級數展開式定義：

${\displaystyle {\frac {2}{\exp(t)+\exp(-t)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}}$

奇數項的歐拉數皆為零，偶數項的歐拉數正負相間，開首為：

E₀ = 1

E₂ = -1

E₄ = 5

E₆ = -61

E₈ = 1,385

E₁₀ = -50,521

E₁₂ = 2,702,765

E₁₄ = -199,360,981

E₁₆ = 19,391,512,145

E₁₈ = -2,404,879,675,441 （OEIS數列A028296）

部份作者會把數列中的奇數項移除，只替偶數項編序，並且把負號轉為正號。这里依從上段所用的慣例。

歐拉數在正割sec x和雙曲正割sech x的泰勒級數出現。雙曲正割就是定義中使用的函數。組合數學也會用到歐拉數。此外，在关于自然数负幂的交错和中也涉及到欧拉数。

歐拉多項式是以歐拉數構造。