^O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。361. ISBN 0-15-518558-6(英语).
Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3
轉動慣量, 在经典力學中, 又稱慣性矩, 英語, moment, inertia, 通常以i, displaystyle, 表示, 國際單位制為k, displaystyle, mathrm, cdot, 是一個物體對於其旋轉運動的慣性大小的量度, 一個剛體對於某轉軸的決定對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩, 常見符號i国际单位kg, m2其他單位lbf, s2單位因次m, l2從其他物理量的推衍i, displaystyle, frac, omega, 因次m, l2走钢丝者手里端着长杆, . 在经典力學中 轉動慣量又稱慣性矩 英語 Moment of inertia 通常以I displaystyle I 1 表示 國際單位制為k g m 2 displaystyle mathrm kg cdot m 2 轉動慣量是一個物體對於其旋轉運動的慣性大小的量度 一個剛體對於某轉軸的轉動慣量決定對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩 轉動慣量常見符號I国际单位kg m2其他單位lbf ft s2單位因次M L2從其他物理量的推衍I L w displaystyle I frac L omega 因次M L2走钢丝者手里端着长杆 为了靠转动惯量保持平衡 对抗转动运动 圖為撒姆爾 迪克森 Samuel Dixon 於1890年穿過尼加拉河的相片 轉動慣量在转动力学中的角色相當於線性動力學中的質量 描述角動量 角速度 力矩和角加速度等數個量之間的關係 目录 1 定义 2 相关概念 2 1 定轴转动动力学方程 2 2 定轴转动动能 3 常用定理 3 1 平行軸定理 3 2 垂直轴定理 3 3 伸展定则 4 慣性張量 4 1 導引 4 2 平行軸定理 4 3 對於任意軸的轉動慣量 4 4 主轉動慣量 4 5 動能 5 計算範例 6 相關條目 7 參考文獻 8 外部連結定义 编辑 nbsp 飛輪擁有很大的轉動慣量 可以用來使機械運轉順滑對於一個質點 I m r 2 displaystyle I mr 2 nbsp 其中m displaystyle m nbsp 是其質量 r displaystyle r nbsp 是質點和轉軸的垂直距離 對於一個有多個質點的系統 I i 1 N m i r i 2 displaystyle I sum i 1 N m i r i 2 nbsp 对于剛體 可以用無限個質點的轉動慣量和 即用積分計算其轉動慣量 I r r 2 d V displaystyle I int rho r 2 dV nbsp 其中r displaystyle rho nbsp 是密度 d V displaystyle dV nbsp 是微量體積 相关概念 编辑定轴转动动力学方程 编辑 在直線運動 F m a displaystyle F ma nbsp 在旋轉運動 則有t I a displaystyle tau I alpha nbsp 其中t displaystyle tau nbsp 是力矩 a displaystyle alpha nbsp 是角加速度 定轴转动动能 编辑 一般物件的動能是K 1 2 m v 2 displaystyle K frac 1 2 mv 2 nbsp 將速度v displaystyle v nbsp 和質量m displaystyle m nbsp 用轉動力學的定義取代 v w r displaystyle v omega r nbsp m I r 2 displaystyle m frac I r 2 nbsp 得出 K 1 2 I r 2 w r 2 displaystyle K frac 1 2 left frac I r 2 right omega r 2 nbsp 簡化得 K 1 2 I w 2 displaystyle K frac 1 2 I omega 2 nbsp 如果一個人坐在一張可轉動的椅子 雙手拿重物 張開雙手 轉動椅子 然後突然將手縮到胸前 轉動的速度將突然增加 因為轉動慣量減少了 常用定理 编辑平行軸定理 编辑 平行軸定理是說 如果一個質量為m displaystyle m nbsp 的物件 以某條經過质心A displaystyle A nbsp 點的直線為軸 其轉動慣量為I A displaystyle I A nbsp 在空間取點B displaystyle B nbsp 使得A B displaystyle AB nbsp 垂直於原本的軸 那麼如果以經過B displaystyle B nbsp 平行於原本的軸的直線為軸 A B displaystyle AB nbsp 的距離為d displaystyle d nbsp 則I B I A m d 2 displaystyle I B I A md 2 nbsp 垂直轴定理 编辑 垂直轴定理是说 如果一个平面物件 以该平面内两条互相垂直 交于A displaystyle A nbsp 点的直线为轴 转动惯量分别为I 1 displaystyle I 1 nbsp I 2 displaystyle I 2 nbsp 则它以过A displaystyle A nbsp 点且垂直于该平面的直线为轴的转动惯量I 3 I 1 I 2 displaystyle I 3 I 1 I 2 nbsp 伸展定则 编辑 伸展定则是说 如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移 该物件对该轴的转动惯量不变 慣性張量 编辑對於三維空間中任意一参考點Q displaystyle Q nbsp 與以此参考點為原點的直角坐標系Q x y z displaystyle Qxyz nbsp 一個剛體的慣性張量I displaystyle mathbf I nbsp 是 I I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z displaystyle mathbf I begin bmatrix I xx amp I xy amp I xz I yx amp I yy amp I yz I zx amp I zy amp I zz end bmatrix nbsp 1 這裏 矩陣的對角元素I x x displaystyle I xx nbsp I y y displaystyle I yy nbsp I z z displaystyle I zz nbsp 分別為對於x displaystyle x nbsp 軸 y displaystyle y nbsp 軸 z displaystyle z nbsp 軸的轉動慣量 設定 x y z displaystyle x y z nbsp 為微小質量d m displaystyle dm nbsp 對於點Q displaystyle Q nbsp 的相對位置 則這些轉動慣量以方程式定義為 I x x d e f y 2 z 2 d m displaystyle I xx stackrel mathrm def int y 2 z 2 dm nbsp I y y d e f x 2 z 2 d m displaystyle I yy stackrel mathrm def int x 2 z 2 dm nbsp 2 I z z d e f x 2 y 2 d m displaystyle I zz stackrel mathrm def int x 2 y 2 dm nbsp 矩陣的非對角元素 稱為慣量積 以方程式定義為 I x y I y x d e f x y d m displaystyle I xy I yx stackrel mathrm def int xy dm nbsp I x z I z x d e f x z d m displaystyle I xz I zx stackrel mathrm def int xz dm nbsp 3 I y z I z y d e f y z d m displaystyle I yz I zy stackrel mathrm def int yz dm nbsp 導引 编辑 nbsp 圖A如圖A displaystyle A nbsp 一個剛體對於質心G displaystyle G nbsp 與以點G displaystyle G nbsp 為原點的直角座標系G x y z displaystyle Gxyz nbsp 的角動量L G displaystyle mathbf L G nbsp 定義為 L G r v d m displaystyle mathbf L G int mathbf r times mathbf v dm nbsp 這裏 r displaystyle mathbf r nbsp 代表微小質量d m displaystyle dm nbsp 在G x y z displaystyle Gxyz nbsp 座標系的位置 v displaystyle mathbf v nbsp 代表微小質量的速度 因為速度是角速度w displaystyle boldsymbol omega nbsp 叉積位置 所以 L G r w r d m displaystyle mathbf L G int mathbf r times boldsymbol omega times mathbf r dm nbsp 計算x displaystyle x nbsp 軸分量 L G x y w r z z w r y d m y w x y y w y x z w x z z w z x d m w x y 2 z 2 w y x y w z x z d m w x y 2 z 2 d m w y x y d m w z x z d m displaystyle begin aligned L Gx amp int y boldsymbol omega times mathbf r z z boldsymbol omega times mathbf r y dm amp int y omega x y y omega y x z omega x z z omega z x dm amp int omega x y 2 z 2 omega y xy omega z xz dm amp omega x int y 2 z 2 dm omega y int xy dm omega z int xz dm end aligned nbsp 相似地計算y displaystyle y nbsp 軸與z displaystyle z nbsp 軸分量 角動量為 L G x w x y 2 z 2 d m w y x y d m w z x z d m displaystyle L Gx omega x int y 2 z 2 dm omega y int xy dm omega z int xz dm nbsp L G y w x x y d m w y x 2 z 2 d m w z y z d m displaystyle L Gy omega x int xy dm omega y int x 2 z 2 dm omega z int yz dm nbsp L G z w x x z d m w y y z d m w z x 2 y 2 d m displaystyle L Gz omega x int xz dm omega y int yz dm omega z int x 2 y 2 dm nbsp 如果 我們用方程式 1 設定對於質心G displaystyle G nbsp 的慣性張量I G displaystyle mathbf I G nbsp 讓角速度w displaystyle boldsymbol omega nbsp 為 w x w y w z displaystyle omega x omega y omega z nbsp 那麼 L G I G w displaystyle mathbf L G mathbf I G boldsymbol omega nbsp 4 平行軸定理 编辑 主条目 平行軸定理 平行軸定理能夠很簡易的 從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量 轉換至另外一個平行的座標系統 假若已知剛體對於質心G displaystyle G nbsp 的慣性張量I G displaystyle mathbf I G nbsp 而質心G displaystyle G nbsp 的位置是 x y z displaystyle bar x bar y bar z nbsp 則剛體對於原點O displaystyle O nbsp 的慣性張量I displaystyle mathbf I nbsp 依照平行軸定理 可以表述為 I x x I G x x m y 2 z 2 displaystyle I xx I G xx m bar y 2 bar z 2 nbsp I y y I G y y m x 2 z 2 displaystyle I yy I G yy m bar x 2 bar z 2 nbsp 5 I z z I G z z m x 2 y 2 displaystyle I zz I G zz m bar x 2 bar y 2 nbsp I x y I y x I G x y m x y displaystyle I xy I yx I G xy m bar x bar y nbsp I x z I z x I G x z m x z displaystyle I xz I zx I G xz m bar x bar z nbsp 6 I y z I z y I G y z m y z displaystyle I yz I zy I G yz m bar y bar z nbsp 證明 nbsp 圖Ba 參考圖B 讓 x y z displaystyle x y z nbsp x y z displaystyle x y z nbsp 分別為微小質量d m displaystyle dm nbsp 對質心G displaystyle G nbsp 與原點O displaystyle O nbsp 的相對位置 y y y displaystyle y y bar y nbsp z z z displaystyle z z bar z nbsp 依照方程式 2 I G x x y 2 z 2 d m displaystyle I G xx int y 2 z 2 dm nbsp I x x y 2 z 2 d m displaystyle I xx int y 2 z 2 dm nbsp 所以 I x x y y 2 z z 2 d m I G x x m y 2 z 2 displaystyle begin aligned I xx amp int y bar y 2 z bar z 2 dm amp I G xx m bar y 2 bar z 2 end aligned nbsp 相似地 可以求得I y y displaystyle I yy nbsp I z z displaystyle I zz nbsp 的方程式 b 依照方程式 3 I G x y x y d m displaystyle I G xy int x y dm nbsp I x y x y d m displaystyle I xy int xy dm nbsp 因為x x x displaystyle x x bar x nbsp y y y displaystyle y y bar y nbsp 所以 I x y x x y y d m I G x y m x y displaystyle begin aligned I xy amp int x bar x y bar y dm amp I G xy m bar x bar y end aligned nbsp 相似地 可以求得對於點O displaystyle O nbsp 的其他慣量積方程式 對於任意軸的轉動慣量 编辑 nbsp 圖C參視圖C 設定點O displaystyle O nbsp 為直角座標系的原點 點Q displaystyle Q nbsp 為三維空間裏任意一點 Q displaystyle Q nbsp 不等於O displaystyle O nbsp 思考一個剛體 對於O Q displaystyle OQ nbsp 軸的轉動慣量是 I O Q r 2 d m h r 2 d m displaystyle I OQ int rho 2 dm int left boldsymbol eta times mathbf r right 2 dm nbsp 這裏 r displaystyle rho nbsp 是微小質量d m displaystyle dm nbsp 離O Q displaystyle OQ nbsp 軸的垂直距離 h displaystyle boldsymbol eta nbsp 是沿著O Q displaystyle OQ nbsp 軸的單位向量 r x y z displaystyle mathbf r x y z nbsp 是微小質量d m displaystyle dm nbsp 的位置 展開叉積 I O Q h y z h z y 2 h x z h z x 2 h x y h y x 2 d m displaystyle I OQ int eta y z eta z y 2 eta x z eta z x 2 eta x y eta y x 2 dm nbsp 稍微加以編排 I O Q h x 2 y 2 z 2 d m h y 2 x 2 z 2 d m h z 2 x 2 y 2 d m 2 h x h y x y d m 2 h x h z x z d m 2 h y h z y z d m displaystyle begin aligned I OQ amp eta x 2 int y 2 z 2 dm eta y 2 int x 2 z 2 dm eta z 2 int x 2 y 2 dm amp 2 eta x eta y int xy dm 2 eta x eta z int xz dm 2 eta y eta z int yz dm end aligned nbsp 特別注意 從方程式 2 3 這些積分項目 分別是剛體對於x displaystyle x nbsp 軸 y displaystyle y nbsp 軸 z displaystyle z nbsp 軸的轉動慣量與慣量積 因此 I O Q h x 2 I x x h y 2 I y y h z 2 I z z 2 h x h y I x y 2 h x h z I x z 2 h y h z I y z displaystyle I OQ eta x 2 I xx eta y 2 I yy eta z 2 I zz 2 eta x eta y I xy 2 eta x eta z I xz 2 eta y eta z I yz nbsp 7 如果已經知道 剛體對於直角座標系的三個座標軸 x displaystyle x nbsp 軸 y displaystyle y nbsp 軸 z displaystyle z nbsp 軸的轉動慣量 那麼 對於O Q displaystyle OQ nbsp 軸的轉動慣量 可以用此方程式求得 主轉動慣量 编辑 因為慣性張量I displaystyle mathbf I nbsp 是個實值的三維對稱矩陣 我們可以用對角線化 將慣量積變為零 使慣性張量成為一個對角矩陣 2 我們可以證明得到的三個特徵值必為正實數 而且三個特徵向量必定互相正交 換另外一種方法 我們需要解析特徵方程式 I w l w displaystyle mathbf I boldsymbol omega lambda boldsymbol omega nbsp 8 也就是以下行列式等於零的三次方程式 I I x x l I x y I x z I y x I y y l I y z I z x I z y I z z l displaystyle mathbf I begin vmatrix I xx lambda amp I xy amp I xz I yx amp I yy lambda amp I yz I zx amp I zy amp I zz lambda end vmatrix nbsp 這方程式的三個根l 1 displaystyle lambda 1 nbsp l 2 displaystyle lambda 2 nbsp l 3 displaystyle lambda 3 nbsp 都是正實的特徵值 將特徵值代入方程式 8 再加上方向餘弦方程式 w x 2 w y 2 w z 2 1 displaystyle omega x 2 omega y 2 omega z 2 1 nbsp 我們可以求到特徵向量w 1 displaystyle hat boldsymbol omega 1 nbsp w 2 displaystyle hat boldsymbol omega 2 nbsp w 3 displaystyle hat boldsymbol omega 3 nbsp 這些特徵向量都是剛體的慣量主軸 而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量 假設x displaystyle x nbsp 軸 y displaystyle y nbsp 軸 z displaystyle z nbsp 軸分別為一個剛體的慣量主軸 這剛體的主轉動慣量分別為I x displaystyle I x nbsp I y displaystyle I y nbsp I z displaystyle I z nbsp 角速度是w displaystyle boldsymbol omega nbsp 那麼 角動量為 L I x w x I y w y I z w z displaystyle mathbf L I x omega x I y omega y I z omega z nbsp 動能 编辑 剛體的動能K displaystyle K nbsp 可以定義為 K 1 2 m v 2 1 2 v 2 d m displaystyle K frac 1 2 m bar v 2 frac 1 2 int v 2 dm nbsp 這裏 v displaystyle bar v nbsp 是剛體質心的速度 v displaystyle v nbsp 是微小質量d m displaystyle dm nbsp 相對於質心的速度 在方程式裏 等號右邊第一個項目是剛體平移運動的動能 第二個項目是剛體旋轉運動的動能K displaystyle K nbsp 由於這旋轉運動是繞著質心轉動的 K 1 2 w r w r d m displaystyle K frac 1 2 int boldsymbol omega times mathbf r cdot boldsymbol omega times mathbf r dm nbsp 這裏 w displaystyle boldsymbol omega nbsp 是微小質量d m displaystyle dm nbsp 繞著質心的角速度 r displaystyle mathbf r nbsp 是d m displaystyle dm nbsp 對於質心的相對位置 應用向量恆等式 可以得到 K 1 2 w r w r d m 1 2 w L displaystyle K frac 1 2 boldsymbol omega cdot int mathbf r times boldsymbol omega times mathbf r dm frac 1 2 boldsymbol omega cdot mathbf L nbsp 或者 用矩陣來表達 K 1 2 w T I w displaystyle K frac 1 2 boldsymbol omega operatorname T mathbf I boldsymbol omega nbsp 所以 剛體的動能為 K 1 2 m v 2 1 2 I x x w x 2 I y y w y 2 I z z w z 2 2 I x y w x w y 2 I x z w x w z 2 I y z w y w z displaystyle K frac 1 2 m bar v 2 frac 1 2 I xx omega x 2 I yy omega y 2 I zz omega z 2 2I xy omega x omega y 2I xz omega x omega z 2I yz omega y omega z nbsp 9 假設x displaystyle x nbsp 軸 y displaystyle y nbsp 軸 z displaystyle z nbsp 軸分別為一個剛體的慣量主軸 這剛體的主轉動慣量分別為I x displaystyle I x nbsp I y displaystyle I y nbsp I z displaystyle I z nbsp 角速度是w displaystyle boldsymbol omega nbsp 那麼 剛體的動能為 K 1 2 m v 2 1 2 I x w x 2 I y w y 2 I z w z 2 displaystyle K frac 1 2 m bar v 2 frac 1 2 I x omega x 2 I y omega y 2 I z omega z 2 nbsp 10 計算範例 编辑主条目 转动惯量列表 nbsp 細長棒子的轉动惯量是1 12 m ℓ 2 displaystyle begin smallmatrix frac 1 12 m ell 2 end smallmatrix nbsp nbsp 當自轉軸移到末端 轉动惯量是1 3 m ℓ 2 displaystyle begin smallmatrix frac 1 3 m ell 2 end smallmatrix nbsp 利用線密度l m ℓ displaystyle begin smallmatrix lambda frac m ell end smallmatrix nbsp 可輕易計算出細長棒子沿質心 CM 自轉的转动惯量 m l x displaystyle begin smallmatrix m lambda x end smallmatrix nbsp d m l d x displaystyle begin smallmatrix dm lambda dx end smallmatrix nbsp I CM r 2 d m l ℓ 2 ℓ 2 x 2 d x m ℓ 1 3 x 3 ℓ 2 ℓ 2 1 12 m ℓ 2 displaystyle I text CM int r 2 dm lambda int ell 2 ell 2 x 2 dx frac m ell left frac 1 3 x 3 right bigg ell 2 ell 2 frac 1 12 m ell 2 nbsp 當自轉軸移到末端 轉动惯量變成 I end r 2 d m l 0 ℓ x 2 d x m ℓ 1 3 x 3 0 ℓ 1 3 m ℓ 2 displaystyle I text end int r 2 dm lambda int 0 ell x 2 dx frac m ell left frac 1 3 x 3 right bigg 0 ell frac 1 3 m ell 2 nbsp I end I CM M D 2 1 12 m ℓ 2 m ℓ 2 2 1 3 m ℓ 2 displaystyle I text end I text CM MD 2 frac 1 12 m ell 2 m left frac ell 2 right 2 frac 1 3 m ell 2 nbsp 相關條目 编辑橫截面的慣性矩 截面二次軸矩 星球质量分布指标 无量纲转动惯量 转动惯量列表 角動量 飛輪矩參考文獻 编辑 普通物理学 修订版 化学数学专业用 汪昭义主编 华东师范大学出版社 P81 三 转动惯量 ISBN 978 7 5617 0444 8 N 018 O Nan Michael Linear Algebra USA Harcourt Brace Jovanovich Inc 1971 pp 361 ISBN 0 15 518558 6 英语 Beer Ferdinand E Russell Johnston Jr William E Clausen 2004 Vector Mechanics for Engineers 7th edition USA McGraw Hill ISBN 978 0 07 230492 3外部連結 编辑轉動Java模擬 页面存档备份 存于互联网档案馆 平衡垂直棒子Java模擬 页面存档备份 存于互联网档案馆 教育部進修網站 慣性矩 取自 https zh wikipedia org w index php title 轉動慣量 amp oldid 78592789, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,