动能

动能是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m²·s^-2）^[1]。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。

車子在斜坡上的位置不同，其動能與势能（位能）亦不相同。

经典力学

在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是：

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 

其中${\displaystyle E_{k}}$ 代表动能，${\displaystyle m}$ 代表质量及${\displaystyle v}$ 代表速率。^[1]

而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上

一个物体的动能与動量的关系为：

${\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}}$ 

其中${\displaystyle E_{k}}$ 代表动能，${\displaystyle p}$ 代表动量的数值及${\displaystyle m}$ 代表质量。

推导与定义

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

${\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$ 

其中${\displaystyle W}$ 代表功，${\displaystyle {\vec {F}}}$ 代表物体所受到的总共的作用力，${\displaystyle {\vec {s}}}$ 代表物体的位移。

根据牛顿第二定律，

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$ 

其中${\displaystyle {\vec {F}}}$ 代表力，${\displaystyle {\vec {p}}}$ 代表动量和${\displaystyle t}$ 代表时间。

动量、速度与质量的关系为：

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ 

其中${\displaystyle {\vec {p}}}$ 代表动量，${\displaystyle m}$ 代表质量及${\displaystyle {\vec {v}}}$ 代表速率。

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

${\displaystyle W=\int {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}\int md({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}}$ 

其中${\displaystyle W}$ 代表功，${\displaystyle {\vec {p}}}$ 代表动量，${\displaystyle t}$ 代表时间，${\displaystyle {\vec {v}}}$ 代表速度，${\displaystyle v}$ 代表速率，${\displaystyle m}$ 代表质量，${\displaystyle C_{0}}$ 代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ 

其中${\displaystyle E_{k}}$ 代表动能，${\displaystyle m}$ 代表质量及${\displaystyle v}$ 代表速率。

自转的物体

如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。

${\displaystyle E_{r}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm={\frac {1}{2}}\int r^{2}\omega ^{2}dm={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$ 

其中${\displaystyle E_{r}}$ 代表自转动能，${\displaystyle v}$ 代表速率，${\displaystyle \omega }$ 代表角速度，${\displaystyle m}$ 代表质量及${\displaystyle r}$ 代表质点到旋转轴间的距离。

相对论

在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。

使用${\displaystyle m}$ 表示静止质量，${\displaystyle \mathbf {v} }$ 和${\displaystyle v}$ 分别表示物体的速度和速率， 而${\displaystyle c}$ 表示真空中的光速，我们假设线性动量${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ， 其中${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ 

分部积分得到

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})}$ 

回忆${\displaystyle \gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!}$ ，我们得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle E_{0}}$ 作为积分常数。 于是:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$ 

通过观察${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!}$  且 ${\displaystyle E_{\text{k}}=0\!}$ ，得到积分常数${\displaystyle E_{0}}$ 应为

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}\,}$ 

并给出通常的公式

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$ 

極限

${\displaystyle \lim _{v\rightarrow c}E_{\text{k}}=\infty }$ 

當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。

利用泰勒公式：

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots )-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots -mc^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}$ 

低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。

参考文献

1. 赵志敏. 高中物理竞赛教程.基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月: P139. ISBN 978-7-309-08251-7. 

參見

• 势能（又称“位能”）
• 机械能
• 能量
• 相对论
• 牛顿运动定律