巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利(英语:Pietro_Mengoli)在1644年提出,由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家,年仅二十八岁的欧拉因此一举成名。欧拉把这个问题作了一番推广,他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)中所采用,论文中定义了黎曼ζ函数,并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的,它是欧拉和伯努利家族的家乡。
巴塞尔问题, 是一个著名的数论问题, 这个问题首先由皮耶特罗, 门戈利, 英语, pietro, mengoli, 在1644年提出, 由莱昂哈德, 欧拉在1735年解决, 由于这个问题难倒了以前许多的数学家, 年仅二十八岁的欧拉因此一举成名, 欧拉把这个问题作了一番推广, 他的想法后来被黎曼在1859年的论文, 论小于给定大数的质数个数, number, primes, less, than, given, magnitude, 中所采用, 论文中定义了黎曼ζ函数, 并证明了它的一些基本的性质, 这个问题是以瑞士. 巴塞尔问题是一个著名的数论问题 这个问题首先由皮耶特罗 门戈利 英语 Pietro Mengoli 在1644年提出 由莱昂哈德 欧拉在1735年解决 由于这个问题难倒了以前许多的数学家 年仅二十八岁的欧拉因此一举成名 欧拉把这个问题作了一番推广 他的想法后来被黎曼在1859年的论文 论小于给定大数的质数个数 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude 中所采用 论文中定义了黎曼z函数 并证明了它的一些基本的性质 这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的 它是欧拉和伯努利家族的家乡 这个问题是精确计算所有平方数的倒数的和 也就是以下级数的和 n 1 1 n 2 lim n 1 1 2 1 2 2 1 n 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 lim n to infty left frac 1 1 2 frac 1 2 2 cdots frac 1 n 2 right 这个级数的和大约等于1 644934 OEIS數列A013661 巴塞尔问题是寻找这个数的准确值 并证明它是正确的 欧拉发现准确值是p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 并在1735年公布 彼时他給出了一個錯誤的证明 真正严密的证明在1741年给出 目录 1 收敛性证明 2 欧拉的錯誤證明 3 黎曼z函数 4 严密的证明 5 二重积分的证明 6 傅里叶级数的证明 7 参考文献 8 外部链接收敛性证明 编辑利用放缩法可以简便地证明级数 n 1 1 n 2 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 有界 並由单调收敛定理得到收敛性 注意到 n N displaystyle forall n in mathbb N 且n 2 displaystyle n geqslant 2 1 n 2 lt 1 n 1 n displaystyle frac 1 n 2 lt frac 1 left n 1 right n 故1 1 2 2 1 3 2 1 n 2 lt 1 1 1 2 1 2 3 1 n 1 n 1 1 1 n lt 2 displaystyle begin aligned 1 left frac 1 2 2 frac 1 3 2 cdots frac 1 n 2 right amp lt 1 left frac 1 1 times 2 frac 1 2 times 3 cdots frac 1 left n 1 right n right amp 1 left 1 frac 1 n right amp lt 2 end aligned 故1 lt n 1 1 n 2 lt 2 displaystyle 1 lt sum n 1 infty frac 1 n 2 lt 2 欧拉的錯誤證明 编辑欧拉最初推导p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 的方法是聪明和新颖的 他假设有限多项式的性质对于无穷级数也是成立的 然而 欧拉沒有證明此一假设 且此一假設在一般情況下也是錯誤的 不過他计算了级数的部分和后发现 级数確實趨近p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 不多不少 这给了他足够的自信心 把这个结果公诸于众 欧拉的方法是从正弦函数的泰勒级数展开式开始 sin x x x 3 3 x 5 5 x 7 7 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots 两边除以x displaystyle x 得 sin x x 1 x 2 3 x 4 5 x 6 7 displaystyle frac sin x x 1 frac x 2 3 frac x 4 5 frac x 6 7 cdots 现在 sin x x 0 displaystyle frac sin x x 0 的根出现在x n p displaystyle x n cdot pi 其中n 1 2 3 displaystyle n pm 1 pm 2 pm 3 dots 我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积 就像把多项式因式分解一样 sin x x 1 x p 1 x p 1 x 2 p 1 x 2 p 1 x 3 p 1 x 3 p 1 x 2 p 2 1 x 2 4 p 2 1 x 2 9 p 2 displaystyle begin aligned frac sin x x amp left 1 frac x pi right left 1 frac x pi right left 1 frac x 2 pi right left 1 frac x 2 pi right left 1 frac x 3 pi right left 1 frac x 3 pi right cdots amp left 1 frac x 2 pi 2 right left 1 frac x 2 4 pi 2 right left 1 frac x 2 9 pi 2 right cdots end aligned 如果把这个乘积展开 并把所有有x 2 displaystyle x 2 的项收集在一起 我们可以看到 sin x x displaystyle frac sin x x 的二次项系数为 1 p 2 1 4 p 2 1 9 p 2 1 p 2 n 1 1 n 2 displaystyle left frac 1 pi 2 frac 1 4 pi 2 frac 1 9 pi 2 cdots right frac 1 pi 2 sum n 1 infty frac 1 n 2 但从sin x x displaystyle frac sin x x 原先的级数展开式中可以看出 x 2 displaystyle x 2 的系数是 1 3 1 6 displaystyle frac 1 3 frac 1 6 这两个系数一定是相等的 因此 1 6 1 p 2 n 1 1 n 2 displaystyle frac 1 6 frac 1 pi 2 sum n 1 infty frac 1 n 2 等式两边乘以 p 2 displaystyle pi 2 就可以得出所有平方数的倒数之和 n 1 1 n 2 p 2 6 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 frac pi 2 6 黎曼z函数 编辑黎曼z函数z s 是数学中的一个很重要的函数 因为它与素数的分布密切相关 这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的 由以下公式定义 z s n 1 1 n s displaystyle zeta s sum n 1 infty frac 1 n s 取s 2 我们可以看出z 2 等于所有平方数的倒数之和 z 2 n 1 1 n 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 p 2 6 1 644934 displaystyle zeta 2 sum n 1 infty frac 1 n 2 frac 1 1 2 frac 1 2 2 frac 1 3 2 frac 1 4 2 cdots frac pi 2 6 approx 1 644934 用以下的等式 可以证明这个级数收敛 n 1 N 1 n 2 lt 1 n 2 N 1 n n 1 1 n 2 N 1 n 1 1 n 1 1 1 N N 2 displaystyle sum n 1 N frac 1 n 2 lt 1 sum n 2 N frac 1 n n 1 1 sum n 2 N left frac 1 n 1 frac 1 n right 1 1 frac 1 N xrightarrow N to infty 2 因此z 2 的上界小于2 因为这个级数只含有正数项 它一定是收敛的 可以证明 当s是正的偶数时 z s 可以用伯努利数来表示 设s 2 n displaystyle s 2n 有以下公式 z 2 n 2 p 2 n 1 n 1 B 2 n 2 2 n displaystyle zeta 2n frac 2 pi 2n 1 n 1 B 2n 2 cdot 2n 严密的证明 编辑以下介绍了一个z 2 p 2 6 displaystyle zeta 2 frac pi 2 6 的证明 它是目前已知最基本的证明 大部分其它的证明都需要用到傅里叶分析 复分析和多变量微积分 但这个证明连一元微积分也不需要 在证明的最后部分需要使用极限的概念 考虑面积 1 2 r 2 tan 8 gt 1 2 r 2 8 gt 1 2 r 2 sin 8 displaystyle frac 1 2 r 2 tan theta gt frac 1 2 r 2 theta gt frac 1 2 r 2 sin theta tan 8 gt 8 gt sin 8 displaystyle tan theta gt theta gt sin theta 1 tan 8 lt 1 8 lt 1 sin 8 displaystyle frac 1 tan theta lt frac 1 theta lt frac 1 sin theta cot 2 8 lt 1 8 2 lt csc 2 8 displaystyle cot 2 theta lt frac 1 theta 2 lt csc 2 theta 这个证明的想法是把以下的部分和固定在两个表达式之间 这两个表达式当m趋于无穷大时都趋于p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 k 1 m 1 k 2 1 1 2 1 2 2 1 m 2 displaystyle sum k 1 m frac 1 k 2 frac 1 1 2 frac 1 2 2 cdots frac 1 m 2 这两个表达式从余切和余割的恒等式推出 而这些恒等式则从棣莫弗定理推出 设x为一个实数 满足0 lt x lt p 2 并设n为正整数 从棣莫弗定理和余切函数的定义 可得 cos n x i sin n x sin x n cos x i sin x n sin x n cos x i sin x sin x n cot x i n displaystyle frac cos nx i sin nx sin x n frac cos x i sin x n sin x n left frac cos x i sin x sin x right n cot x i n 根据二项式定理 我们有 cot x i n n 0 cot n x n 1 cot n 1 x i n n 1 cot x i n 1 n n i n displaystyle cot x i n n choose 0 cot n x n choose 1 cot n 1 x i cdots n choose n 1 cot x i n 1 n choose n i n n 0 cot n x n 2 cot n 2 x i n 1 cot n 1 x n 3 cot n 3 x displaystyle left n choose 0 cot n x n choose 2 cot n 2 x pm cdots right i left n choose 1 cot n 1 x n choose 3 cot n 3 x pm cdots right 把两个方程合并 由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等 因此有 sin n x sin x n n 1 cot n 1 x n 3 cot n 3 x displaystyle frac sin nx sin x n left n choose 1 cot n 1 x n choose 3 cot n 3 x pm cdots right 固定一个正整数m 设n 2m 1 并考虑xr r p 2m 1 对于r 1 2 m 那么nxr是p的倍数 因此是正弦函数的零点 所以 0 2 m 1 1 cot 2 m x r 2 m 1 3 cot 2 m 2 x r 1 m 2 m 1 2 m 1 displaystyle 0 2m 1 choose 1 cot 2m x r 2m 1 choose 3 cot 2m 2 x r pm cdots 1 m 2m 1 choose 2m 1 对于所有的r 1 2 m x1 xm是区间 0 p 2 内不同的数 由于函数cot2 x在这个区间内是一一对应的 因此当r 1 2 m时 tr cot2 xr的值各不同 根据以上方程 这些m个 tr 是以下m次多项式的根 p t 2 m 1 1 t m 2 m 1 3 t m 1 1 m 2 m 1 2 m 1 displaystyle p t 2m 1 choose 1 t m 2m 1 choose 3 t m 1 pm cdots 1 m 2m 1 choose 2m 1 根据韦达定理 我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和 因此 cot 2 x 1 cot 2 x 2 cot 2 x m 2 m 1 3 2 m 1 1 2 m 2 m 1 6 displaystyle cot 2 x 1 cot 2 x 2 cdots cot 2 x m frac binom 2m 1 3 binom 2m 1 1 frac 2m 2m 1 6 把恒等式csc2 x cot2 x 1代入 可得 csc 2 x 1 csc 2 x 2 csc 2 x m 2 m 2 m 1 6 m 2 m 2 m 2 6 displaystyle csc 2 x 1 csc 2 x 2 cdots csc 2 x m frac 2m 2m 1 6 m frac 2m 2m 2 6 现在考虑不等式cot2 x lt 1 x2 lt csc2 x 如果我们把对于xr r p 2m 1 的所有不等式相加起来 并利用以上的两个恒等式 便可得到 2 m 2 m 1 6 lt 2 m 1 p 2 2 m 1 2 p 2 2 m 1 m p 2 lt 2 m 2 m 2 6 displaystyle frac 2m 2m 1 6 lt left frac 2m 1 pi right 2 left frac 2m 1 2 pi right 2 cdots left frac 2m 1 m pi right 2 lt frac 2m 2m 2 6 把不等式乘以 p 2m 1 2 便得 p 2 6 2 m 2 m 1 2 m 1 2 m 1 lt 1 1 2 1 2 2 1 m 2 lt p 2 6 2 m 2 m 1 2 m 2 2 m 1 displaystyle frac pi 2 6 left frac 2m 2m 1 right left frac 2m 1 2m 1 right lt frac 1 1 2 frac 1 2 2 cdots frac 1 m 2 lt frac pi 2 6 left frac 2m 2m 1 right left frac 2m 2 2m 1 right 当m趋于无穷大时 左面和右面的表达式都趋于p 2 6 displaystyle frac pi 2 6 因此根据夹挤定理 有 z 2 k 1 1 k 2 lim m 1 1 2 1 2 2 1 m 2 p 2 6 displaystyle zeta 2 sum k 1 infty frac 1 k 2 lim m to infty left frac 1 1 2 frac 1 2 2 cdots frac 1 m 2 right frac pi 2 6 证毕 二重积分的证明 编辑首先考虑二重积分 D 1 d x d y 1 x y displaystyle iint limits D 1 frac mathrm d x mathrm d y 1 xy 的级数展开形式 其中区域D1为x 0 1 且y 0 1 的正方形区域 D 1 d x d y 1 x y 0 1 0 1 d x 1 x y d y 0 1 0 1 n 1 x y n 1 d x d y 0 1 n 1 x n y n 1 n x 0 x 1 d y 0 1 n 1 y n 1 n d y n 1 y n n 2 y 0 y 1 n 1 1 n 2 displaystyle begin aligned iint limits D 1 frac mathrm d x mathrm d y 1 xy amp int 0 1 left int 0 1 frac mathrm d x 1 xy right mathrm d y int 0 1 left int 0 1 sum n 1 infty xy n 1 mathrm d x right mathrm d y amp int 0 1 left sum n 1 infty frac x n y n 1 n right x 0 x 1 mathrm d y int 0 1 sum n 1 infty frac y n 1 n mathrm d y amp left sum n 1 infty frac y n n 2 right y 0 y 1 sum n 1 infty frac 1 n 2 end aligned 接下来考虑做如下变换 x u cos p 4 v sin p 4 u v 2 y u sin p 4 v cos p 4 u v 2 displaystyle begin cases x u cos dfrac pi 4 v sin dfrac pi 4 dfrac u v sqrt 2 y u sin dfrac pi 4 v cos dfrac pi 4 dfrac u v sqrt 2 end cases 相当于将正方形区域D1旋转45 之后变成D2 但仍然保持其形状与面积 其中正方形D2的四个顶点在 u v 下的坐标分别是 0 0 displaystyle 0 0 1 2 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 1 sqrt 2 2 0 displaystyle sqrt 2 0 1 2 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 1 sqrt 2 D 1 d x d y 1 x y D 2 d u d v 1 u v u v 2 2 D 2 d u d v 2 u 2 v 2 2 0 1 2 u u d v 2 u 2 v 2 d u 2 1 2 2 u 2 2 u d v 2 u 2 v 2 d u 4 0 1 2 0 u d v 2 u 2 v 2 d u 4 1 2 2 0 2 u d v 2 u 2 v 2 d u I 1 I 2 displaystyle begin aligned iint limits D 1 frac mathrm d x mathrm d y 1 xy amp iint limits D 2 frac mathrm d u mathrm d v 1 frac u v u v 2 2 iint limits D 2 frac mathrm d u mathrm d v 2 u 2 v 2 amp 2 int 0 frac 1 sqrt 2 left int u u frac mathrm d v 2 u 2 v 2 right mathrm d u 2 int frac 1 sqrt 2 sqrt 2 left int u sqrt 2 sqrt 2 u frac mathrm d v 2 u 2 v 2 right mathrm d u amp 4 int 0 frac 1 sqrt 2 left int 0 u frac mathrm d v 2 u 2 v 2 right mathrm d u 4 int frac 1 sqrt 2 sqrt 2 left int 0 sqrt 2 u frac mathrm d v 2 u 2 v 2 right mathrm d u amp I 1 I 2 end aligned 最后一行用到的是偶函数的性质化简积分 并且将加号前后的两个积分 包括前面的系数 简记为I1与I2 先计算I1 下面变量代换设u 2 sin 8 displaystyle u sqrt 2 sin theta 则有d u 2 cos 8 d 8 displaystyle mathrm d u sqrt 2 cos theta mathrm d theta I 1 4 0 1 2 arctan v 2 u 2 2 u 2 v 0 v u d u 4 0 1 2 arctan u 2 u 2 2 u 2 d u 4 0 p 6 2 cos 8 arctan 2 sin 8 2 2 sin 2 8 2 2 sin 2 8 d 8 4 0 p 6 2 cos 8 arctan 2 sin 8 2 cos 8 2 cos 8 d 8 4 0 p 6 arctan tan 8 d 8 4 0 p 6 8 d 8 2 8 2 8 0 8 p 6 p 2 18 displaystyle begin aligned I 1 amp 4 int 0 frac 1 sqrt 2 left frac arctan frac v sqrt 2 u 2 sqrt 2 u 2 right v 0 v u mathrm d u 4 int 0 frac 1 sqrt 2 frac arctan frac u sqrt 2 u 2 sqrt 2 u 2 mathrm d u amp 4 int 0 frac pi 6 frac sqrt 2 cos theta cdot arctan frac sqrt 2 sin theta sqrt 2 2 sin 2 theta sqrt 2 2 sin 2 theta mathrm d theta 4 int 0 frac pi 6 frac sqrt 2 cos theta cdot arctan frac sqrt 2 sin theta sqrt 2 cos theta sqrt 2 cos theta mathrm d theta amp 4 int 0 frac pi 6 arctan tan theta mathrm d theta 4 int 0 frac pi 6 theta mathrm d theta 2 theta 2 bigg theta 0 theta frac pi 6 frac pi 2 18 end aligned 类似地 再计算I2 下面变量代换设u 2 cos 8 displaystyle u sqrt 2 cos theta 则有d u 2 sin 8 d 8 displaystyle mathrm d u sqrt 2 sin theta mathrm d theta 并且交换积分上下限从负号变回正号 I 2 4 1 2 2 arctan v 2 u 2 2 u 2 v 0 v 2 u d u 1 2 2 arctan 2 u 2 u 2 2 u 2 d u 4 0 p 3 2 sin 8 arctan 2 2 cos 8 2 2 cos 2 8 2 2 cos 2 8 d 8 4 0 p 3 2 sin 8 arctan 2 1 cos 8 2 sin 8 2 sin 8 d 8 4 0 p 3 arctan tan 8 2 d 8 4 0 p 3 8 2 d 8 8 2 8 0 8 p 3 p 2 9 displaystyle begin aligned I 2 amp 4 int frac 1 sqrt 2 sqrt 2 left frac arctan frac v sqrt 2 u 2 sqrt 2 u 2 right v 0 v sqrt 2 u mathrm d u int frac 1 sqrt 2 sqrt 2 frac arctan frac sqrt 2 u sqrt 2 u 2 sqrt 2 u 2 mathrm d u amp 4 int 0 frac pi 3 frac sqrt 2 sin theta cdot arctan frac sqrt 2 sqrt 2 cos theta sqrt 2 2 cos 2 theta sqrt 2 2 cos 2 theta mathrm d theta 4 int 0 frac pi 3 frac sqrt 2 sin theta cdot arctan frac sqrt 2 1 cos theta sqrt 2 sin theta sqrt 2 sin theta mathrm d theta amp 4 int 0 frac pi 3 arctan tan frac theta 2 mathrm d theta 4 int 0 frac pi 3 frac theta 2 mathrm d theta theta 2 bigg theta 0 theta frac pi 3 frac pi 2 9 end aligned 最终可以得到 n 1 1 n 2 D 1 d x d y 1 x y 2 D 2 d u d v 2 u 2 v 2 I 1 I 2 p 2 18 p 2 9 p 2 6 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 iint limits D 1 frac mathrm d x mathrm d y 1 xy 2 iint limits D 2 frac mathrm d u mathrm d v 2 u 2 v 2 I 1 I 2 frac pi 2 18 frac pi 2 9 frac pi 2 6 证毕 傅里叶级数的证明 编辑设有函数f x x displaystyle f x x 其定义域为x p p displaystyle x in pi pi 这个函数的傅里叶级数是 f x n 1 2 1 n 1 n sin n x displaystyle f x sum n 1 infty frac 2 1 n 1 n sin nx 根据帕塞瓦尔恒等式 我们有 p 2 3 1 2 p p p f 2 x d x n 1 1 2 p p p 2 1 n 1 n sin n t 2 d t 2 n 1 1 n 2 displaystyle pi 2 over 3 1 over 2 pi int pi pi f 2 x dx sum n 1 infty 1 over 2 pi int pi pi 2 frac 1 n 1 n sin nt 2 dt 2 sum n 1 infty 1 over n 2 因此 p 2 6 n 1 1 n 2 displaystyle pi 2 over 6 sum n 1 infty 1 over n 2 证毕 参考文献 编辑Weil Andre Number Theory An Approach Through History Springer Verlag 1983 ISBN 0 8176 3141 0 Dunham William Euler The Master of Us All Mathematical Association of America 1999 ISBN 0 88385 328 0 Derbyshire John Prime Obsession Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics Joseph Henry Press 2003 ISBN 0 309 08549 7 Aigner Martin Ziegler Gunter M Proofs from THE BOOK Berlin New York Springer Verlag 1998 Edwards Harold M Riemann s Zeta Function Dover 2001 ISBN 0 486 41740 9 外部链接 编辑 英文 欧拉对巴塞尔问题的解法 一个很长的故事 PDF 61 7 KiB 英文 欧拉是怎样解决的 PDF 265 KiB 英文 欧拉和伯努利的无穷级数增添了一个微积分班级的趣味 PDF 106 KiB 英文 z 2 p2 6的十四种证明 页面存档备份 存于互联网档案馆 由Robin Chapman编制 取自 https zh wikipedia org w index php title 巴塞尔问题 amp oldid 76090801, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,