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四月 09, 2024
橢圓柱坐標系, 英語, elliptic, cylindrical, coordinates, 是一種三維正交坐標系, 軸方向延伸二維的橢圓坐標系, 則可得到, 其坐標曲面是共焦的橢圓柱面與雙曲柱面, 的兩個焦點, displaystyle, displaystyle, 的直角坐標, 分別設定為, displaystyle, displaystyle, 都處於直角坐標系的, 的幾個坐標曲面, 紅色的橢圓柱面的, displaystyle, 藍色的薄平面的, displaystyle, 軸是垂直的, 以白色表示, 軸. 橢圓柱坐標系 英語 Elliptic cylindrical coordinates 是一種三維正交坐標系 往 z 軸方向延伸二維的橢圓坐標系 則可得到橢圓柱坐標系 其坐標曲面是共焦的橢圓柱面與雙曲柱面 橢圓柱坐標系的兩個焦點 F1 displaystyle F 1 與 F2 displaystyle F 2 的直角坐標 分別設定為 a 0 0 displaystyle a 0 0 與 a 0 0 displaystyle a 0 0 都處於直角坐標系的 x 軸 橢圓柱坐標系的幾個坐標曲面 紅色的橢圓柱面的 m 1 displaystyle mu 1 藍色的薄平面的 z 1 displaystyle z 1 z 軸是垂直的 以白色表示 x 軸以綠色表示 三個曲面相交於點 P 以黑色的圓球表示 直角坐標大約為 2 182 1 661 1 displaystyle 2 182 1 661 1 包含於 xy 平面的橢圓與雙曲線的兩個焦點的直角坐標為 x 2 0 displaystyle x pm 2 0 橢圓坐標系 目录 1 基本定義 2 標度因子 3 第二種定義 4 第二種標度因子 5 應用 6 參閱 7 參考文獻基本定義 编辑橢圓柱坐標 m n z displaystyle mu nu z nbsp 最常見的定義是 x a cosh m cos n displaystyle x a cosh mu cos nu nbsp y a sinh m sin n displaystyle y a sinh mu sin nu nbsp z z displaystyle z z nbsp 其中 實數 a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp 實數 m 0 displaystyle mu geq 0 nbsp 弧度 n 0 2p displaystyle nu in 0 2 pi nbsp 坐標 z 是實數 m displaystyle mu nbsp 的等值曲線形成了橢圓 而 n displaystyle nu nbsp 的等值曲線則形成了雙曲線 x2a2cosh2 m y2a2sinh2 m cos2 n sin2 n 1 displaystyle frac x 2 a 2 cosh 2 mu frac y 2 a 2 sinh 2 mu cos 2 nu sin 2 nu 1 nbsp x2a2cos2 n y2a2sin2 n cosh2 m sinh2 m 1 displaystyle frac x 2 a 2 cos 2 nu frac y 2 a 2 sin 2 nu cosh 2 mu sinh 2 mu 1 nbsp 標度因子 编辑橢圓柱坐標 m displaystyle mu nbsp 與 n displaystyle nu nbsp 的標度因子相等 hm hn asinh2 m sin2 n displaystyle h mu h nu a sqrt sinh 2 mu sin 2 nu nbsp hz 1 displaystyle h z 1 nbsp 所以 無窮小體積元素等於 dV a2 sinh2 m sin2 n dmdndz displaystyle dV a 2 left sinh 2 mu sin 2 nu right d mu d nu dz nbsp 拉普拉斯算子是 2F 1a2 sinh2 m sin2 n 2F m2 2F n2 2F z2 displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sinh 2 mu sin 2 nu right left frac partial 2 Phi partial mu 2 frac partial 2 Phi partial nu 2 right frac partial 2 Phi partial z 2 nbsp 其它微分算子 例如 F displaystyle nabla cdot mathbf F nbsp 與 F displaystyle nabla times mathbf F nbsp 都可以用橢圓柱坐標表達 只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式 第二種定義 编辑有時候 會用到另外一種橢圓柱坐標系 s t z displaystyle sigma tau z nbsp 其中 s cosh m displaystyle sigma cosh mu nbsp t cos n displaystyle tau cos nu nbsp 同樣地 s displaystyle sigma nbsp 的等值曲線是橢圓 而 t displaystyle tau nbsp 的等值曲線是雙曲線 在這裏 t displaystyle tau nbsp 必須屬於區間 1 1 displaystyle 1 1 nbsp 而 s displaystyle sigma nbsp 必須大於或等於 1 displaystyle 1 nbsp 用橢圓柱坐標系 任何在 xy 平面上的點 s t z displaystyle sigma tau z nbsp 其與兩個焦點的距離 d1 displaystyle d 1 nbsp d2 displaystyle d 2 nbsp 有一個很簡單的關係 回想兩個焦點 F1 displaystyle F 1 nbsp 與 F2 displaystyle F 2 nbsp 的坐標分別為 a 0 displaystyle a 0 nbsp 與 a 0 displaystyle a 0 nbsp d1 d2 2as displaystyle d 1 d 2 2a sigma nbsp d1 d2 2at displaystyle d 1 d 2 2a tau nbsp 因此 d1 a s t displaystyle d 1 a sigma tau nbsp d2 a s t displaystyle d 2 a sigma tau nbsp 第二種橢圓柱坐標有一個缺點 那就是它與直角坐標並不保持一一對應關係 x ast displaystyle x a sigma tau nbsp y2 a2 s2 1 1 t2 displaystyle y 2 a 2 left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right nbsp 第二種標度因子 编辑第二種橢圓柱坐標 s t z displaystyle sigma tau z nbsp 的標度因子是 hs as2 t2s2 1 displaystyle h sigma a sqrt frac sigma 2 tau 2 sigma 2 1 nbsp ht as2 t21 t2 displaystyle h tau a sqrt frac sigma 2 tau 2 1 tau 2 nbsp hz 1 displaystyle h z 1 nbsp 所以 無窮小體積元素等於 dV a2s2 t2 s2 1 1 t2 dsdtdz displaystyle dV a 2 frac sigma 2 tau 2 sqrt left sigma 2 1 right left 1 tau 2 right d sigma d tau dz nbsp 拉普拉斯算子是 2F 1a2 s2 t2 s2 1 s s2 1 F s 1 t2 t 1 t2 F t 2F z2 displaystyle nabla 2 Phi frac 1 a 2 left sigma 2 tau 2 right left sqrt sigma 2 1 frac partial partial sigma left sqrt sigma 2 1 frac partial Phi partial sigma right sqrt 1 tau 2 frac partial partial tau left sqrt 1 tau 2 frac partial Phi partial tau right right frac partial 2 Phi partial z 2 nbsp 其它微分算子 例如 F displaystyle nabla cdot mathbf F nbsp 與 F displaystyle nabla times mathbf F nbsp 都可以用第二種橢圓柱坐標表達 只需要將第二種標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式 應用 编辑橢圓柱坐標最經典的用途是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式 在這些方程式裏 橢圓柱坐標允許分離變數法的使用 擧一個典型的例題 有一塊寬度為 2a displaystyle 2a nbsp 的平板導體 請問其周圍的電場為什麼 應用橢圓柱坐標 我們可以有條不紊地分析這例題 三維的波方程 假若用橢圓柱坐標來表達 則可以用分離變數法解析 形成了馬蒂厄微分方程 Mathieu differential equation 參閱 编辑拉普拉斯 龍格 冷次向量參考文獻 编辑Philip M Morse Herman Feshbach Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill 1953 p 657 ISBN 0 07 043316 X 引文格式1维护 冗余文本 link Henry Margenau Murphy GM The Mathematics of Physics and Chemistry New York D van Nostrand 1956 pp 182 183 引文格式1维护 冗余文本 link Korn GA Korn TM Mathematical Handbook for Scientists and Engineers New York McGraw Hill 1961 p 179 引文格式1维护 冗余文本 link Sauer R Szabo I Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs New York Springer Verlag 1967 p 97 引文格式1维护 冗余文本 link Moon P Spencer DE Elliptic Cylinder Coordinates h ps z Field Theory Handbook Including Coordinate Systems Differential Equations and Their Solutions corrected 2nd ed 3rd print ed New York Springer Verlag 1988 pp 17 20 Table 1 03 ISBN 978 0387184302 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 橢圓柱坐標系 amp oldid 77155419, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,