方程求解

數學中的方程求解是指找出哪些值（可能是數、函數、集合）可以使一個方程成立，或是指出這様的解不存在。方程是兩個用等號相連的數學表示式，表示式中有一個或多個未知數，未知數為自由變數，解方程就是要找出未知數要在什麼情形下，才能使等式成立。更準確的說，方程求解不一定是要找出未知數的值，也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數，也就是說若用方程的解來取代未知數，會使方程變為恆等式。

例如方程${\displaystyle x+y=2x-1}$的解為${\displaystyle x=y+1}$，因為若將方程中${\displaystyle x}$取代為${\displaystyle y+1}$，方程會變成恆等式${\displaystyle \left(y+1\right)+y=2\left(y+1\right)-1}$。也可以將${\displaystyle y}$視為未知數，解則為${\displaystyle y=x-1}$。也可以將${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$都視為未知數，此時會有許多組的解，像是${\displaystyle (x,y)=\left(1,0\right)}$或是${\displaystyle (x,y)=\left(2,1\right)}$等，所有滿足${\displaystyle (x,y)=(a+1,a)}$的都是上述方程的解。

依問題的不同，方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解，也有可能是要找到所有的解（解集合（英语：Solution set））。有時方程會存在許多解，但要找到某種最佳解，這類的問題稱為最佳化問題，找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。

有些情形下，方程求解會需要找到解析解，也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下，方程求解只需要找到數值解，也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解，或是沒有簡單形式的解析解，例如五次方程以及更高次的代數方程，不存在根式解（用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解），這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的^[1]。

簡介

考慮一個具一般性的例子，有一個以下的方程：

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$ ,

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ 為未知數，而${\displaystyle c}$ 為常數。其解為反像集合的成員

${\displaystyle f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}}$ 

其中${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ 為函數${\displaystyle f}$ 的定義域。注意解集合可能為空集合（沒有解）、单元素集合（唯一解）、有限個元素的集合及無限多個元素的集合（有無限多的解）。

例如，以下的方程：

${\displaystyle 3x+2y=21z}$ 

其未知數為${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ 及${\displaystyle z}$ ，可以在等式二側同減${\displaystyle 21z}$ ，得到以下的式子：

${\displaystyle 3x+2y-21z=0}$ 

以此例而言，方程不會只有唯一解，方程解的個數有無限多個，可以寫為以下的集合

${\displaystyle \left\{\left(x,y,z\right)|3x+2y-21z=0\right\}}$ .

其中一個特殊解為${\displaystyle x=0,y=0,z=0}$ ，而${\displaystyle x=3,y=6,z=1}$ 和${\displaystyle x=8,y=9,z=2}$ 也是其解。解集合描述一個三維空間中，恰好穿過上述三個點的平面。

解集合

若解集合（英语：solution set）為空集合，表示不存在${\displaystyle x_{i}}$ 使得以下方程成立

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$ ,

其中${\displaystyle c}$ 為一特定常數。

例如考慮一個經典的單變數例子，考慮定義域為整數的平方函數${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ,

考慮以下方程

${\displaystyle f(x)=2}$ .

其解集合為${\displaystyle \left\{\right\}}$ ，是空集合。因為2不是任何整數的平方，因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函數的定義域，將其定義域改為所有實數，則上式有二個解，其解集合為

${\displaystyle \left\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right\}}$ .

有些方程的解集合可能形成一個平面或曲面。例如在學習基礎數學時，有提及形式為${\displaystyle ax+by=c}$ 的方程，其中${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , 和${\displaystyle c}$ 都是實數的常數，且${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle b}$ 至少有一個不為零，其解集合形成向量空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 中的一條直線。不過有些解集合不易用圖解表示，例如${\displaystyle ax+by+cz+dw=k}$ （${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ , and ${\displaystyle k}$ 為實數的常數）的解集合會形成超平面。

相關條目

• 方程组
• 等化系数（英语：Equating coefficients）
• 数学分析
• 数值分析

參考資料

1. 阿米爾·艾克塞爾（Amir D. Aezel）. 費馬最後定理. 台北: 時報出版. 1998: p.87. ISBN 957-13-2648-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link)