积分第一中值定理, 的内容为, 中值定理, 微分中值定理, 罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理, 柯西中值定理, 积分中值定理, 积分第二中值定理, 相关条目, 微积分学, displaystyle, rightarrow, mathbf, 为一连续函数, displaystyle, rightarrow, mathbf, 要求g, 是可积函数且在积分区间不变号, 那么存在一点, displaystyle, 使得, displaystyle, 事实上, 可以证明, 上述的中值点ξ, displaystyle, 必能在. 积分第一中值定理的内容为 中值定理 微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理 相关条目 微积分学 设 f a b R displaystyle f a b rightarrow mathbf R 为一连续函数 g a b R displaystyle g a b rightarrow mathbf R 要求g x 是可积函数且在积分区间不变号 那么存在一点 3 a b displaystyle xi in a b 使得 a b f x g x d x f 3 a b g x d x displaystyle int a b f x g x dx f xi int a b g x dx 事实上 可以证明 上述的中值点3 displaystyle xi 必能在开区间 a b displaystyle a b 内取得 1 见下方中值点在开区间内存在的证明 目录 1 证明 2 中值点在开区间内存在的证明 3 参考文献 4 另请参见证明 编辑因为 f displaystyle f nbsp 是闭区间上的连续函数 f displaystyle f nbsp 取得最大值 M displaystyle mathrm M nbsp 和最小值 m displaystyle mu nbsp 于是 M g x f x g x m g x displaystyle mathrm M g x geq f x g x geq mu g x nbsp 对不等式求积分 我们有 M a b g x d x a b f x g x d x m a b g x d x displaystyle mathrm M int alpha beta g x rm d x geq int alpha beta f x g x rm d x geq mu int alpha beta g x rm d x nbsp 若 a b g x d x 0 displaystyle int alpha beta g x rm d x 0 nbsp 则 a b f x g x d x 0 displaystyle int alpha beta f x g x rm d x 0 nbsp 3 displaystyle xi nbsp 可取 a b displaystyle alpha beta nbsp 上任一点 设 a b g x d x gt 0 displaystyle int alpha beta g x rm d x gt 0 nbsp 那么 M a b f x g x d x a b g x d x m displaystyle mathrm M geq frac int alpha beta f x g x rm d x int alpha beta g x rm d x geq mu nbsp 因为 M f x m displaystyle mathrm M geq f x geq mu nbsp 是连续函数 根據介值定理 必存在一点 3 a b displaystyle xi in alpha beta nbsp 使得 f 3 a b f x g x d x a b g x d x displaystyle f xi frac int alpha beta f x g x rm d x int alpha beta g x rm d x nbsp 中值点在开区间内存在的证明 编辑已知f x displaystyle f x nbsp 在 a b displaystyle a b nbsp 上连续 设F x a x f t d t displaystyle F x int a x f t dt nbsp 知F x displaystyle F x nbsp 在 a b displaystyle a b nbsp 上连续 在 a b displaystyle a b nbsp 内可导 应用拉格朗日中值定理 可得 F b F a b a F 3 displaystyle dfrac F b F a b a F xi nbsp 其中3 a b displaystyle xi in a b nbsp 即 a b f t d t a a f t d t b a f 3 displaystyle dfrac int a b f t dt int a a f t dt b a f xi nbsp 所以 a b f x d x f 3 b a 3 a b displaystyle int a b f x dx f xi b a xi in a b nbsp 参考文献 编辑 华东师范大学数学系 数学分析 上册 第三版 高等教育出版社 2006 第219页 由微积分基本性质 当被积函数在 a b 上连续时 原函数在 a b 上是可导的 而拉格朗日定理的假设是 f x 在 a b 内可导 所以原文中 知F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 应用拉格朗日中值定理 可得 应该改为 知F x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 应用拉格朗日中值定理 可得 否则无法排除3只取在a或者b上的可能此说法并不严密 现根据以上对原定理的证明 来解释为什么3 a b displaystyle xi in a b nbsp 可以改为 3 a b displaystyle xi in a b nbsp 因为 f x displaystyle f x nbsp 在 a b displaystyle a b nbsp 上连续 所以f x displaystyle f x nbsp 在 a b displaystyle a b nbsp 上有最大值 M displaystyle M nbsp 和最小值 m displaystyle m nbsp 设f x 1 m displaystyle f x 1 m nbsp f x 2 M displaystyle f x 2 M nbsp x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp a b displaystyle in a b nbsp 如果m M displaystyle m M nbsp 则f x displaystyle f x nbsp 是常值函数 任取3 a b displaystyle xi in a b nbsp 即可 如果 m lt M displaystyle m lt M nbsp 由于函数M f x displaystyle M f x nbsp 连续且有一点x 1 displaystyle x 1 nbsp 使 M f x 1 gt 0 displaystyle M f x 1 gt 0 nbsp 所以由积分性质有 a b M f x d x gt 0 displaystyle int a b M f x dx gt 0 nbsp 即 M b a gt a b f x d x displaystyle M b a gt int a b f x dx nbsp 同理可得 m b a lt a b f x d x displaystyle m b a lt int a b f x dx nbsp 故有 m lt 1 b a a b f x d x lt M displaystyle m lt frac 1 b a int a b f x dx lt M nbsp 由连续函数的介值定理 至少存在一点3 x 1 x 2 displaystyle xi in x 1 x 2 nbsp a b displaystyle a b nbsp 或 x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 nbsp a b displaystyle a b nbsp 使得1 b a a b f x d x f 3 displaystyle frac 1 b a int a b f x dx f xi nbsp 即 a b f x d x f 3 b a displaystyle int a b f x dx f xi b a nbsp 注 以上内容参考延边大学出版社 数学分析辅导及习题精解 华东师大 第四版 上册 另请参见 编辑中值定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 积分第一中值定理 amp oldid 78402559, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,